Meccanica
Punto materiale. Gravitazione. Corpo rigido
Maurizio Zani
Maurizio Zani
Sommario
Meccanica
Metrologia
Cinematica del punto
Dinamica del punto
Esempi di forze
Meccanica relativa
Meccanica relativistica
Relazioni integrali
Meccanica dei sistemi
Gravitazione
Meccanica del corpo rigido
http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1119
Maurizio Zani
Cinematica del punto
Cinematica scalare
Cinematica vettoriale
Meccanica
Metrologia
Cinematica del punto
Dinamica del punto
Esempi di forze
Meccanica relativa
Meccanica relativistica
Relazioni integrali
Meccanica dei sistemi
Gravitazione
Meccanica del corpo rigido
Maurizio Zani
Cinematica scalare: sistema di riferimento
Meccanica (fisica del moto)
•
cinematica: come descriverlo
•
dinamica: capirne le cause
•
statica: come impedirlo
punto materiale: sistema semplice
da studiare
•
non è un punto geometrico
•
ne trascuriamo il moto proprio
•
osservato da distante rispetto
alle sue dimensioni
sistema di riferimento: scegliere
origine e verso
•
spazio

intrinseco: cinematica scalare
 estrinseco: cinematica vettoriale
•
tempo
Maurizio Zani
s0
Cinematica scalare: posizione
O
s
origine
verso
tempo
posizione
t0
s0
t1
s1
t2
s2
t3
s3
t4
s4
s
t
s0
s3
s1
s2
s4
t1
t2
t3
t4
posizione,
o ascissa curvilinea
traiettoria
legge oraria
( )
s t
s4
s1
s2
s3
[ ] m
s =
Maurizio Zani
Cinematica scalare: posizione
moto
traiettoria: aspetto geometrico, "dove"
legge oraria: aspetto cinematico, "come"
( )
s t
O
s
quiete
( )
costante
s t =
esempi
• moto rettilineo uniforme
• moto circolare uniforme
• moto circolare armonico
• moto ellittico
Maurizio Zani
O
θ
P
C
θ
s
R
Cinematica scalare: posizione
origine
verso
posizione lineare
traiettoria
legge oraria
 
( )
( )
s t
θ t =
R
[ ]
rad
θ =
centro
θ
t
2π
raggio
( )
θ t
posizione angolare
Maurizio Zani
Cinematica scalare: spostamento
spostamento lineare
[
] m
s =

2
1
s = s - s

O
θ
P
C
θ
s
R
spostamento angolare
[
]
rad
θ =

2
1
θ = θ - θ

O
s
s1
s2
s3
s4
s0
( )
( )
s t
θ t =
R


traiettoria circolare
traiettoria varia
Maurizio Zani
Cinematica scalare: spostamento
spostamento lineare
[
] m
s =

2
1
s = s - s

spostamento complessivo
i
i
s =
s

å
spazio percorso
i
i
L =
så
O
s
s1
s2
s3
s4
s0
(
)
(
)
(
)
3
0
3
2
2
1
1
0
s = s - s = s - s
+ s - s
+ s - s

Wayde van Niekerk
Maurizio Zani
Cinematica scalare: velocità
velocità media
[
]
[
]
[
]
m
s
m
s
v
=
t


=
2
1
m
2
1
s - s
s
v =
=
t
t - t


2
1
s = s - s

0
2
1
t = t - t >

verso positivo
nel futuro
0: m
v > 0
>
0: m
v = 0
=
0: m
v < 0
<
O
s
s1
s2
s3
s4
s0
Maurizio Zani
Cinematica scalare: velocità
s
t
t2
s1
t1
s2
α
Δt
Δs
( )
tan
2
1
m
2
1
s - s
s
v =
=
= k
α
t
t - t


fattore di scala
s
t
s1
t1
α
β
A
B
mB
mA
v
> v
( )
0
d
lim
tan
d
t
s
s
v =
=
= s = k
α
t
t





velocità istantanea
velocità media
s3
s4
O
s
s1
s2
s0
s
t
s1
t1
α
Maurizio Zani
Cinematica scalare: velocità
3
3
= 1
= 1
3
0
i
mi
i
i
i
s = s - s =
s =
v
t



å å
3
0
m
3
0
s - s
s
v =
=
t
t - t


vm1
vm2
vm3
vm
t
t1
t2
t3
0
mi
i
i
s = s +
v
t
å
s3
O
s
s1
s2
s0
condizione iniziale
Maurizio Zani
Cinematica scalare: velocità
( )
( )
d
d
s t
v t =
t
( )
( )d
0
t
0
t
s t = s +
v t
t
ò
v
t
( )
Δ
d
d
3
3
0
0
s
t
3
0
s
t
s = s - s =
s =
v t
t
ò
ò
O
s
s1
s2
s3
s0
condizione iniziale
istante indefinito
Maurizio Zani
Cinematica scalare: velocità
quiete
( )
0
s t = s
( )
( )
d
0
d
s t
v t =
=
t
s
t
s0
moto uniforme
( )
0
0
s t = s + v t
( )
( )
tan
0
v t = v = k
α
s
t
s0
α
Maurizio Zani
Cinematica scalare: velocità
velocità lineare
O
s
s1
s2
O
θ
P
C
θ
s
R
velocità angolare
2
1
m
2
1
s - s
s
v =
=
t
t - t


2
1
m
2
1
θ - θ
θ
ω
=
=
t
t - t


( )
( )
d
d
s t
v t =
t
( )
( )
d
d
θ t
ω t =
t
( )
( )
v t
ω t =
R
Maurizio Zani
Cinematica scalare: accelerazione
accelerazione media
[
]
[
]
[
]
2
m
s
m
v
a
=
t


=
2
1
m
2
1
v - v
v
a =
=
t
t - t


2
1
v = v - v

0
2
1
t = t - t >

0: m
a > 0
>
0: m
a = 0
=
0: m
a < 0
<
O
s
s1
s2
s3
s4
s0
Maurizio Zani
t1
v
t
v1
α
β
A
B
t1
v
t
v1
α
α
t2
t1
Δt
Δv
v
t
v1
v2
Cinematica scalare: accelerazione
( )
tan
2
1
m
2
1
v - v
v
a =
=
= k
α
t
t - t


fattore di scala
mB
mA
a
> a
( )
0
2
2
d
lim
d
d d
d
d d
d
tan
t
v
v
a =
=
= v =
t
t
s
s
=
=
= s =
t
t
t
= k
α






accelerazione istantanea
accelerazione media
s3
s4
O
s
s1
s2
s0
Maurizio Zani
am2
am1
am3
am
t
t1
t2
t3
Cinematica scalare: accelerazione
3
3
= 1
= 1
3
0
i
mi
i
i
i
v = v - v =
v =
a
t



å å
3
0
m
3
0
v - v
v
a =
=
t
t - t


0
mi
i
i
v = v +
a
t
å
s3
O
s
s1
s2
s0
condizione iniziale
Maurizio Zani
a
t
Cinematica scalare: accelerazione
( )
( )
d
d
v t
a t =
t
( )
( )d
0
t
0
t
v t = v +
a t
t
ò
( )
Δ
d
d
3
3
0
0
v
t
3
0
v
t
v = v - v =
v =
a t
t
ò
ò
O
s
s1
s2
s3
s0
condizione iniziale
istante indefinito
Maurizio Zani
Cinematica scalare: accelerazione
quiete
( )
0
s t = s
( )
( )
d
0
d
s t
v t =
=
t
moto uniformemente accelerato
( )
2
1
2
0
0
0
s t = s + v t + a t
( )
0
0
v t = v + a t
v
t
v0
α
( )
( )
d
0
d
v t
a t =
=
t
( )
( )
tan
0
1
a t = a = k
α
( )
tan
0
2
v = k
β
s
t
s0
β
Maurizio Zani
Cinematica scalare: accelerazione
accelerazione lineare
O
s
s1
s2
O
θ
P
C
θ
s
R
accelerazione angolare
2
1
m
2
1
v - v
v
a =
=
t
t - t


2
1
m
2
1
ω - ω
ω
α
=
=
t
t - t


( )
( )
d
d
v t
a t =
t
( )
( )
d
d
ω t
α t =
t
( )
( )
a t
α t =
R
Maurizio Zani
Cinematica scalare: accelerazione
( )
( )d
0
t
0
t
v t = v +
a t
t
ò
condizione iniziale
( )
( )
( )
2
2
d
d
d
d
v t
s t
a t =
=
t
t
( )
a t
( )
( )d
0
t
0
t
s t = s +
v t
t
ò
( )
( )
d
d
s t
v t =
t
( )
s t
derivointegro( )
( )
( )
( )
2
3
2
3
d
d
d
d
d
d
a t
v t
s t
j t =
=
=
t
t
t
matematica, non fisica
grandezze lineari
Maurizio Zani
Cinematica scalare: accelerazione
( )
( )d
0
t
0
t
ω t = ω +
α t
t
ò
condizione iniziale
( )
( )
( )
2
2
d
d
d
d
ω t
θ t
α t =
=
t
t
( )
α t
( )
( )d
0
t
0
t
θ t = θ + ω t
t
ò
( )
( )
d
d
θ t
ω t =
t
( )
θ t
derivointegrograndezze angolari
Maurizio Zani
( )
( )
2
1
d
2
0
t
0
0
0
t
s t = s +
v t
t = s + v
t -
gt
⋅
ò
Cinematica scalare: moto del grave
( )
a t = -g
( )
( )d
0
t
0
0
t
v t = v +
a t
t = v - gt
ò
accelerazione di gravità
2
9.80665 m / s
g =
s
punto
materiale
sistema
di riferimento
2 condizioni iniziali
&
O
Maurizio Zani
Cinematica scalare: moto armonico
( )
(
)
sin
0
0
s t = A
ω
t + φ
⋅
ampiezza dell’onda
pulsazione
fase iniziale
frequenza
periodo
2π
2π
ω =
=
f
T
2π
t
=
T
φ


φ
A
s
t
T
-A
A
s
φ
2π
φ0
Maurizio Zani
ω0
s
A
Cinematica scalare: moto armonico
( )
(
)
sin
0
0
s t = A
ω
t + φ
⋅
φ
( )
0
0
φ t = ω
t + φ
⋅
moto circolare uniforme
moto armonico
C
φ
https://www.youtube.com/watch?v=7DOzXyzuVMg
0ω
pulsazione
velocità angolare
Maurizio Zani
( )
( )
(
)
2
d
sin
d
0
0
0
v t
a t =
= -Aω
ω t + φ
t
(
)
tan
0
0
0
0
s
φ
= ω
v
 
2
2
0
0
0
v
A = s
+
ω
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
( )
( )
(
)
d
cos
d
0
0
0
s t
v t =
= Aω
ω t + φ
t
( )
(
)
sin
0
0
s t = A
ω t + φ
Cinematica scalare: moto armonico
( )
(
)
0
sin
0
s
= A
φ
( )
(
)
0
cos
0
0
v
= Aω
φ
condizioni
iniziali
parametri
del moto
Maurizio Zani
A
s(t)
t
t
t
v(t)
a(t)
T
-A
( )
( )
(
)
(
)
2
2
d
sin
d
sin
π
0
0
0
0
0
0
v t
a t =
= -Aω
ω t + φ
=
t
= Aω
ω t + φ +
( )
( )
(
)
(
)
d
cos
d
π
sin
2
0
0
0
0
0
0
s t
v t =
= Aω
ω t + φ
=
t
= Aω
ω t + φ +
( )
(
)
sin
0
0
s t = A
ω t + φ
Cinematica scalare: moto armonico
v(t) e s(t) in quadratura di fase
a(t) e s(t) in opposizione di fase
π/2
π
Maurizio Zani
( )
( )
(
)
( )
2
2
2
2
d
sin
d
0
0
0
0
s t
a t =
= -Aω
ω t + φ
= -ω s t
t
(
)
tan
0
0
0
0
s
φ
= ω
v
 
2
2
0
0
0
v
A = s
+
ω
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
( )
(
)
sin
0
0
s t = A
ω t + φ
Cinematica scalare: moto armonico
( )
( )
2
2
2
d
0
d
0
s t
+ ω s t =
t
( )
?
s t =
equazione differenziale
II ordine
soluzione?
2 condizioni iniziali
pulsazione propria
Maurizio Zani
O
Cinematica vettoriale: posizione
y
x
θ0
r0
P
y0
x0
  0
0 x
0 y
r = x u + y u



 
(
)
(
)
cos
sin
0
0
0
0
0
0
x = r
θ
y = r
θ
ìïï
íïïïî
 
(
)
2
2
tan
0
0
0
0
0
0
r = x
+ y
y
θ
=
x
ìïïïïíïïïïî
coordinate
cartesiane
coordinate
polari
origine
 
m
r =
é
ù
ë
û

asse cartesiano
(≠ traiettoria)
ascissa
ordinata
modulo
angolo/fase
vettore
verso
versore
Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: posizione
x
t
t1
t2
x1
x2
y
t
t1
t2
y1
y2
  ( )
( )
( )
x
y
r t = x t u + y t u



( )
( )
( )
x
y
r s = x s u + y s u



( )
s t
traiettoria
legge oraria
legge del moto
(≠ legge oraria)
y
x
1r

2
r

Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: spostamento
Δ
2
1
r = r - r



 Δ
m
r =
é
ù
ë
û

s
r


³

 
(
)
(
)
Δ
Δ
Δ
2
1
2
1
x
2
1
y
x
y
r = r - r = x - x u + y - y u = x u + y u
⋅
⋅







y
x
1r

2
r

Δr

Δs
Δ
2
1
s = s - s
Δx
Δy
Δ
0
Δ
d
lim
1
Δ
d
s
r
r
=
=
s
s



s2
s1
Maurizio Zani
y
x
1r

2
r

m
v

Cinematica vettoriale: velocità
Δr

Δ
Δ
2
1
m
2
1
r - r
r
v =
=
t
t - t




[
]
m
s
m
r
v
=
=
t


é
ù
ë
û
é
ù
ë
û


0
d
lim
d
t
r
r
v =
=
t
t







Δ
Δ
2
1
m
2
1
s - s
s
v =
=
t
t - t
non è un vettore
applicato
è un vettore
applicato
[
]
[
]
[
]
m
s
m
s
v
=
=
t


y
x
r

v

d
d d
d
d d
t
r
r
s
v =
=
= u v
t
s
t




d
d
s
v =
t
versore tangente
Maurizio Zani
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
d
d
d
d
d
d
x
y
x
x
y
y
t
r t
x t
y t
v t =
=
u +
u = v
t u + v
t u = v t u
t
t
t







y
x
r

v

Cinematica vettoriale: velocità
( )
( )
( )
x
y
r t = x t u + y t u



d
d
s
v =
t
2
2
x
y
v = v
+ v
il moto complessivo è una composizione vettoriale di moti scalari
;
x
y
u u


versori fissi
t
u

versore mobile
vx
vy
Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: velocità
3
3
= 1
= 1
3
0
i
mi
i
i
i
r = r - r =
r =
v
t



å å





Δ
Δ
3
0
m
3
0
r - r
r
v =
=
t
t - t




0
mi
i
i
r = r +
v
t
å



condizione iniziale
y
x
0r

2
r

1r

3r

Δ 1r

Δ 2
r

Δ 3r

Δ 1r

Δ 2
r

Δ 3r

Δr

Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: velocità
( )
( )
d
d
r t
v t =
t


( )
( )d
0
t
0
t
r t = r +
v t
t
ò



( )
Δ
d
d
3
3
0
0
r
t
3
0
r
t
r = r - r =
r =
v t
t
ò
ò







condizione iniziale
istante indefinito
y
x
0r

3r

Δr

Δr

( )
( )d
0
t
0
x
t
x t = x +
v
t
t
ò
( )
( )d
0
t
0
y
t
y t = y +
v
t
t
ò
Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: velocità
 
d
d
θ
ω =
t
v = ω × r



scalare
vettoriale
ω
θ
P
v

R
C
( )
sin
v = ωr
φ = ωR

v

ω

r

P
O
φ
v = ωR
direzione: ortogonale al piano di rotazione
verso: regola della mano destra
modulo: tasso di rotazione
ω

Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: velocità
relazione di Poisson
 
d
d
θ
ω =
t
 
cost
d
d
r =
r
= ω × r
t



( )
( )
d
d
r t
v t =
t


v = ω × r



scalare
vettoriale
ω
θ
P
v

R
C
( )
sin
v = ωr
φ = ωR

v

ω

r

P
O
φ
v = ωR
Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: accelerazione
Δ
Δ
2
1
m
2
1
v - v
v
a =
=
t
t - t




[
]
2
Δ
m
Δ
s
m
v
a
=
=
t
é
ù
ë
û
é
ù
ë
û


Δ
0
Δ
d
lim
Δ
d
t
v
v
a =
=
t
t




Δ
Δ
2
1
m
2
1
v - v
v
a =
=
t
t - t
[
]
[
]
[
]
2
m
s
m
v
a
=
=
t


y
x
1
v

2
v

Δv

y
x
a

v

Maurizio Zani
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
d
d
d
d
d
d
y
x
x
y
x
x
y
y
t
t
n
n
v
t
v t
v
t
a t =
=
u +
u = a
t u + a
t u = a t u t + a
t u
t
t
t
t








Cinematica vettoriale: accelerazione
( )
( )
( )
x
x
y
y
v t = v
t u + v
t u



;
x
y
u u


versori fissi
;
t
n
u u
 
versori mobili
il moto complessivo è una composizione vettoriale di moti scalari
y
x
a

v

ax
ay
Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: accelerazione
y
x
a

an
at
rappresentazione
cartesiana
rappresentazione
intrinseca
rappresentazione
polare
y
x
a

aθ
ar
un
ut
ur
uθ
uy
ux
y
x
a

ax
ay
Maurizio Zani
y
x
a

v

( )
( )
()
()
(
)
(
)
cost
cost
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
t
t
t
t
t
t
u =
v =
vu
vu
v t
u
v
a t =
=
v t u t
=
u + v
=
+
t
t
t
t
t
t
é
ù
ê
ú
ë
û








Cinematica vettoriale: accelerazione
( )
( )
( )
( )
()
()
d
d
d
d
d
d
t
r t
r t
s t
v t =
=
= v t u t
t
s
t




?
moto rettilineo
moto vario uniforme
Maurizio Zani
( )
( )
( )
d
d
d
d
d
d
t
t
v t
v
a t =
=
v t u =
u
t
t
t
é
ù
ê
ú
ë
û




Cinematica vettoriale: accelerazione
( )
( )
( )
d
d
t
r t
v t =
= v t u
t



moto rettilineo
y
x
v

r

( )
( )
d
d
t
t
v
a t = a t =
u
t



Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: accelerazione
(
)
(
)
(
)
(
)
cos
sin
sin
cos
0
x
y
r v = x v + y v = -R
ωt Rω
ωt
+ R
ωt Rω
ωt
=
é
ù
é
ù
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
 
moto circolare uniforme
θ
y
x
v

r

y
x
R
θ
( )
(
)
( )
(
)
cos
cos
sin
sin
x = R
θ = R
ωt
r
y = R
θ = R
ωt
ìïï
íïïïî

(
)
(
)
d
sin
d
d
cos
d
x
y
x
v =
= -Rω
ωt
t
v
y
v =
= Rω
ωt
t
ìïïïïïíïïïïïî

(
)
(
)
2
2
2
2
2 2
sin
cos
x
y
v = v = v
+ v
=
-Rω
ωt
+ Rω
ωt
= R ω
= Rω
é
ù
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û

Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: accelerazione
(
)
(
)
2
2
2
2
cos
sin
x
y
a = -Rω
ωt = -ω x
a
a = -Rω
ωt = -ω y
ìïïïíïïïî

( )
(
)
( )
(
)
cos
cos
sin
sin
x = R
θ = R
ωt
r
y = R
θ = R
ωt
ìïï
íïïïî

(
)
(
)
d
sin
d
d
cos
d
x
y
x
v =
= -Rω
ωt
t
v
y
v =
= Rω
ωt
t
ìïïïïïíïïïïïî

2
2
2
2
d
d
x
y
v
v
a = a =
= a
+ a
= ω R =
= ωv
t
R


(
)
(
)
2
2
d
cos
d
d
sin
d
x
x
y
y
v
a =
= -Rω
ωt
t
a
v
a =
= -Rω
ωt
t
ìïïïïïíïïïïïî

2
a = -ω r


θ
y
x
v

r

R
θ
y
x
moto circolare uniforme
a

( )
( )
2
n
n
v
a t = a
t =
u
R



Maurizio Zani
θ
Cinematica vettoriale: accelerazione
(
)
Δ
0
Δ
0
Δ
0
2
2 sin
Δ
d
2
lim
lim
lim
Δ
Δ
Δ
d
d d
1
d d
t
t
t
θ
v
v
θ
θ
a =
=
= v
= v
=
t
t
t
t
θ s
v
= v
= v
v =
s
t
ρ
ρ



moto vario uniforme
Δ
2
sin
2
v
θ
=
v
æ ö÷
ç ÷
ç ÷÷
çè ø
Δ
2 sin
2
θ
v = v
æ ö÷
ç ÷
ç ÷÷
çè ø
y
x
1
v

2
v

1
2
v = v
= v


1
v

2
v

Δv

θ
raggio di curvatura
d
d
s
ρ =
θ
Δs
cerchio osculatore
Δ
Δ
Δ
Δ
m
v
v
a =
=
t
t

Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: accelerazione
(
)
2
d
d
d
d
d
2
= 0
d
d
d
d
d
v v
v
v
v
v
=
=
v + v
=
v
t
t
t
t
t
⋅
⋅
⋅
⋅
 






1
2
v = v
= v


moto vario uniforme
d
d
v = a
v
t
^



( )
( )
2
n
n
v
a t = a
t =
u
ρ



y
x
a

v

Maurizio Zani
y
x
a

v

( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
cost
cost
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
t
t
t
t
t
t
u =
v =
vu
vu
v t
u
v
a t =
=
v t u t
=
u + v
=
+
=
t
t
t
t
t
t
é
ù
ê
ú
ë
û








Cinematica vettoriale: accelerazione
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
d
d
d
d
d
d
t
r t
r t
s t
v t =
=
= u t v t
t
s
t




moto rettilineo
moto vario uniforme
( )
( )
( )
( )
2
d
d
t
t
n
n
t
n
v
v
= a t u t + a
t u
t =
u +
u
t
ρ




moto vario
Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: accelerazione
3
3
= 1
= 1
3
0
i
mi
i
i
i
v = v - v =
v =
a
t



å å





Δ
Δ
3
0
m
3
0
v - v
v
a =
=
t
t - t




0
mi
i
i
v = v +
a
t
å



condizione iniziale
Δ 1
v

Δ 2
v

Δ 3
v

Δv

2
v

3
v

y
x
0
v

1
v

Δv

Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: accelerazione
( )
( )
d
d
v t
a t =
t


( )
( )d
0
t
0
t
v t = v +
a t
t
ò



( )
Δ
d
d
3
3
0
0
v
t
3
0
v
t
v = v - v =
v =
a t
t
ò
ò







condizione iniziale
istante indefinito
( )
( )d
0
0
t
x
x
x
t
v
t = v
+
a
t
t
ò
( )
( )d
0
0
t
y
y
y
t
v
t = v
+
a
t
t
ò
3
v

y
x
0
v

Δv

Maurizio Zani
Cinematica vettoriale: accelerazione
( )
( )d
0
t
0
t
v t = v +
a t
t
ò



condizione iniziale
( )
( )
( )
2
2
d
d
d
d
v t
r t
a t =
=
t
t



( )
a t

( )
( )d
0
t
0
t
r t = r +
v t
t
ò



( )
( )
d
d
r t
v t =
t


( )
r t

derivointegro