Elettromagnetismo
Elettricità. Corrente. Magnetismo
Maurizio Zani
Maurizio Zani
Sommario
Elettromagnetismo
Elettrostatica
Materiali conduttori
Condensatori
Materiali dielettrici
Corrente elettrica
Resistori
Circuiti elettrici continui
Magnetostatica
Induzione elettromagnetica
Induttori
Materiali magnetici
Circuiti elettrici variabili
Elettromagnetismo
http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1128
Maurizio Zani
Magnetostatica
Elettromagnetismo
Elettrostatica
Materiali conduttori
Condensatori
Materiali dielettrici
Corrente elettrica
Resistori
Circuiti elettrici continui
Magnetostatica
Induzione elettromagnetica
Induttori
Materiali magnetici
Circuiti elettrici variabili
Elettromagnetismo
Magnetizzazione
Forza magnetica
Campo magnetico
Teorema di Gauss
Teorema di Ampère
Dipolo magnetico
Formulazione differenziale
Maurizio Zani
magnete permanente
•
polo (p)
 due tipi (S e N), vale algebra
•
interazione

tipo diverso: attrazione
 stesso tipo: repulsione
Magnetizzazione
il materiale si magnetizza?
•
no: materiale "amagnetico"
 come rame e alluminio
•
sì: materiale magnetico
 come il ferro
+
-
Maurizio Zani
Magnetizzazione
materiali magnetici
+
magnetizzazione
localizzata e temporanea
prossimità e taglio
prossimità (senza contatto)
nessuna
magnetizzazione
-
-
+
+
+
-
+
Maurizio Zani
Magnetizzazione
magneti permanenti
magnetizzazione
permanente
taglio
magnetizzazione permanente
in ogni frazione
-
-
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
-
Maurizio Zani
Magnetizzazione: forza magnetica
bilancia di torsione
F
F
θ
p
-p
p
2
1 2
m
m
r
p p
F = k
u
r


forza magnetica (di Lorentz)
forza fondamentale
-7
2
10 N / A
4π
0
m
μ
k =
=
-7
2
4π 10 N / A
0
μ =
⋅
costante magnetica
permeabilità magnetica
Maurizio Zani
Magnetizzazione: forza magnetica
velocità della luce
2
1 2
m
m
r
p p
F = k
u
r


forza magnetica (di Lorentz)
2
1 2
e
e
r
q q
F = k
u
r


forza elettrica (di Coulomb)
1
e
m
0 0
k
=
= c
k
ε μ
4π
0
m
μ
k =
1
4
e
0
k =
ε
299 792 458 m / s
c =



Maurizio Zani
Magnetizzazione: campo magnetico
4π
0
1 2
m
r
2
μ p p
F =
u
r


2
2
4π
4π
0
0
1 2
2
m
r
1
r
1 2
μ
μ
p p
p
F =
u = p
u
= p B
r
r
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø




2
4π
0
2
r
μ p
B =
u
r


campo magnetico
1
i
1
1
i
1
F =
F =
p B = p
B = p B
å å
å





effetto
causa
oggetto
[
]
[
]
[
]
N
T
Am
F
B =
=
=
p
vale la sovrapposizione degli effetti
i
B =
Bå


d
B =
B
ò


tesla
Maurizio Zani
Magnetizzazione: campo magnetico
S
N
B
Linee di flusso
•
linee orientate, tangenti (direzione) e concordi (verso) al campo
•
si addensano dove il campo è più intenso
•
non si incrociano mai
•
partono (sorgente) e terminano (pozzo) sui poli o all’infinito
orientazione della
limatura di ferro
I
B
magnete
corrente
Maurizio Zani
Forza magnetica
m
F = qv B
´



[
]
[
]
[ ][ ]
N
N
T
m
Am
C s
F
B =
=
=
=
q v
tesla
d
Δ
0
m
W =
F
r = K =
⋅
ò


la forza magnetica non compie lavoro
2
1
costante
2
K = mv =
forza magnetica (di Lorentz)
Maurizio Zani
Forza magnetica: effetto Hall
ΔV
I
B
E
+
–
d
h
m
e
F = F
V
qvB = qE = q
h

ΔV = vBh
Δ
I
V = vBh =
B
dnq
I
J = nqv =
hd
ΔV
B
=
I
dnq
resistenza Hall
il segno dipende dal segno dei portatori
Maurizio Zani
Forza magnetica: II legge elementare di Laplace
d
d
d
d
d
d
d
d
d
s
q
F = q v B = q
B =
s B = I s B
t
t
´
´
´
´









d
d
F =
F = I
s B
´
ò
ò




campo uniforme
(
)
d
d
F = I
s B = I
s
B = I s B
´
´
´
ò
ò







II legge elementare di Laplace
s
I
circuito chiuso
(
)
d
d
0
F = I
s B = I
s
B =
´
´
ò
ò






Maurizio Zani
Campo magnetico
2
4π
0
t
r
μ
u
u
B =
qv
r
´



[
] T
B =
tesla
non vale il III principio della dinamica
campo magnetico
ut
q
x
y
P
ur
q1
q2
v1
v2
x
y
x
F1
ꞏ
F2
m
F = qv B
´



Maurizio Zani
Campo magnetico: I legge elementare di Laplace
2
2
d
d
d
d
4
4
d
0
t
r
0
t
r
μ
u ×u
μ
u ×u
s
B =
q v
=
q
=
t
r
r







I legge elementare di Laplace
I
2
d
d
4
0
t
r
μ
u ×u
B =
B =
I
s
r

ó
õ
ò




2
2
d d
d
4 d
4
0
t
r
0
t
r
μ
u ×u
μ
u ×u
q
=
s
=
I s
t
r
r






Maurizio Zani
I
θ
dy
x
r
P
α
θ
x
y
Campo magnetico: I legge elementare di Laplace
( )
2
sin
d
d
4
0
α
μ
B =
I y
=
r

( )
tan
y = x
θ
( )
2
d
d
cos
x
y =
θ
θ
( )
cos
x
r =
θ
( )
( )
( )
( )
2
2
2
cos
d cos
cos
d
4
4
cos
0
0
θ
μ
μ
x
I
=
I
θ
θ
=
θ θ
x
θ
x


( )
( )
+π /2
+π /2
-π /2
-π /2
d
cos
d
sin
4
4
2
0
0
0
μ
μ
μ
I
I
I
B =
B =
θ θ =
θ
=
x
x
x



é
ù
ê
ú
ë
û
ò
ò
filo rettilineo infinito
( )
( )
π
sin
sin
cos
2
α =
+ θ =
θ
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
legge di Biot-Savart
Maurizio Zani
Campo magnetico: forza tra correnti
2π
0
1
1
μ
B =
I
d
I1
I1
I2
d
I2
2π
2π
0
0
2
2
1
2
1
1 2
μ
μ
F = I LB = I L
I = L
I I
d
d
2π
0
2
1
1 2
μ
F
F
=
I I =
L
d
L
vale il III principio della dinamica
B1
F2
F2
F1
F1
Maurizio Zani
Teorema di Gauss
( )
Φ
d
0
B =
B S =
⋅
ò




teorema di Gauss
le linee del campo sono chiuse
non vi sono poli magnetici isolati
A
B
( )
Φ
d
d
A
B
B =
B S =
B S
⋅
⋅
ò
ò





( )
[
][
]
2
Φ
Tm Wb
B = B S =
=
é
ù
ê
ú
ë
û

weber
Maurizio Zani
Teorema di Gauss
( )
Φ
d
0
B =
B S =
⋅
ò




( )
A
B
Φ
d
d
B =
B S =
B S
⋅
⋅
ò
ò





( )
Λ
d
0
E =
E
r =
⋅
ò




( )
B
B
A
A
(1)
(2)
Λ
d
d
E =
E
r =
E
r
⋅
⋅
ò
ò





(1)
(2)
A
B
A
B
Maurizio Zani
Teorema di Ampère: linea circolare
B
I
I
r
( )
Λ
d
d
d
B =
B r =
B r = B
r = BL
⋅
ò
ò
ò






( )
Λ
d
0
B =
B r = μ I
⋅
ò




teorema di Ampère
2π
0
θ
μ I
B =
u
r


2π
L =
r
Maurizio Zani
B
θ
I
r
dr
α
Teorema di Ampère: linea generica
( )
( )
Λ
d
d cos
B =
B r =
B r
θ
⋅
ò
ò





( )
d cos
d
d
r
θ = r' = α r
2π
0
θ
μ I
B =
u
r


( )
Λ
dΛ
d
2π
0
μ I
B =
=
α
ò
ò



corrente interna
d
2π
α =
ò
corrente esterna
d
0
α =
ò
B
θ
r
dr
α
I
Maurizio Zani
Teorema di Ampère
Teorema di Ampère
"La circuitazione del campo magnetico creato da più correnti
dipende unicamente dalla corrente concatenata dalla linea scelta,
e ne risulta proporzionale secondo un fattore μ0"
( )
Λ
d
0 c
B =
B r = μ I
⋅
ò




sempre valido, non sempre utile
Maurizio Zani
Teorema di Ampère
filo rettilineo infinito
( )
Λ
d
d
d
2π
B =
B r =
B r = B
r = B
r
⋅
ò
ò
ò






( )
Λ
d
0 c
B =
B r = μ I
⋅
ò




Ampère
circuitaz.
per simmetria, il campo magnetico è
• ortogonale rispetto al filo
•
invariante per traslazione lungo il filo
•
invariante per rotazione attorno al filo
simmetria "cilindrica"
2
0
μ
I
B =
r

0 c
0
= μ I = μ I
r
I
legge di Biot-Savart
Maurizio Zani
Teorema di Ampère
cilindro rettilineo infinito
per simmetria, il campo magnetico è
• ortogonale rispetto al filo
•
invariante per traslazione lungo il filo
•
invariante per rotazione attorno al filo
simmetria "cilindrica"
( )
Λ
d
2π
0 c
B =
B r = B
r = μ I
⋅
ò




2
0
c
μ
I
r > R: I = I B =
r

2
2
2
I π
π
2π
0
c
μ I
r < R: I = JS =
r B =
r
R
R
B
iperbole
retta
R
r
R
r
I
Maurizio Zani
Teorema di Ampère
solenoide toroidale
per simmetria, il campo magnetico è
•
invariante per rotazione
simmetria rotazionale
( )
Λ
d
2π
0 c
B =
B r = B
r = μ I
⋅
ò




0
0
c
r
R: I = NI - NI = B =

0
0
c
r
R: I = B =

2π
0
c
0
μ NI
r
R: I = NI B =
= μ nI
r
»
densità di spire
R
r
I
I
2π
N
n =
r
Maurizio Zani
θ
r
Dipolo magnetico: interazioni create
p
-p
d
y
x
r+
r-
P
y
θ
x
Br
r
Bθ
B
m
( )
( )
3
3
2 cos
4π
sin
4π
0
r
0
θ
m
θ
μ
B =
r
m
θ
μ
B =
r
ìïïïïï
íïïïïïïî
m = pd


momento di dipolo magnetico
[
]
[
][
]
2
Am
m = p d =
Maurizio Zani
Dipolo magnetico: interazioni subite
M = d F = d
pB = pd B = m B
´
´
´
´









U = -m B
⋅


( )
(
)
grad
grad
F = -
U =
m B
⋅



p
-p
m
F
F
B
θ
Maurizio Zani
x
R
θ
dB
I
x
θ
r
Dipolo magnetico: spira circolare
( )
2
2
2
2
2
d
d
d cos
cos
4
1
d
4
0
x
0
μ
I s
B = B
θ =
θ =
r
μ
R
=
I s
x + R
x + R


(
)
2
3/2
2
2
d
2
0
x
μ
IR
B =
B =
x + R
ò
2
2
3
3
3
2
2
:
2
4
4
0
0
0
μ
μ
μ
IR
IπR
m
x
R B
=
=
x
x
x


⋅
»

2
m = IS = IπR
momento di dipolo magnetico
2
d
d
4
0
t
r
μ
u ×u
B =
I s
r




m = IS


Maurizio Zani
Dipolo magnetico: spira rettangolare
I
4
2
3
1
α
B
d
F = I
s B = I s B
´
´
ò





π
sin
2
1
3
1
F = F = Id B
- α
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
F3
F1
F2
F4
2
4
2
F = F = Id B
0
tot
F
=
( )
( )
( )
( )
sin
sin
sin
sin
1 2
1
2
M = d F
α = d Id B
α = IS B
α = mB
α
⋅
M = m B
´



1 2
S = d d
Maurizio Zani
Dipolo magnetico: teorema di equivalenza
Teorema di equivalenza di Ampère
"Il campo magnetico creato e le interazioni subite
da un magnete e da una spira (in approx. di dipolo)
sono equivalenti"
S
N
B
magnete
corrente
B
I
Maurizio Zani
Formulazione differenziale: condizioni al contorno
2
1
dS
( )
dΦ
d
d
⋅



2
2
2
n2
B = B
S = B
S
( )
dΦ
d
d
d
⋅
⋅





1
1
1
1
2
n1
B = B
S = -B
S = -B
S
( )
dΦ
0
lat B
»

( )
( )
( )
( )
(
)
dΦ
dΦ
dΦ
dΦ
d
Δ d




1
2
lat
n2
n1
n
B =
B +
B +
B = B
- B
S = B S
( )
dΦ
0

B =
Δ n
B = 0
Maurizio Zani
2
1
dr
Formulazione differenziale: condizioni al contorno
( )
dΛ
d
d
⋅



2
2
2
t2
B = B
r = B
r
( )
dΛ
d
d
d
⋅
⋅





1
1
1
1
2
t1
B = B
r = -B
r = -B
r
( )
( )
( )
( )
(
)
dΛ
dΛ
dΛ
dΛ
d
Δ d




1
2
n
t2
t1
t
B =
B +
B +
B = B - B
r = B r
( )
dΛ
d
d

0
0 b
B = μ
I = μ K r
Δ
t
0 b
B = μ K
( )
dΛ
0
n B
»

Maurizio Zani
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
dΦ
d
d
d d
'
'
'
x
'
x
'
'
''
x
= B
S = B S = B y z
B
⋅



( )
d
d
d
d
d
Φ
'
'
'
x
x
'
x
x
= B
S = -B S = -B y
B
z
⋅



( )
( )
( )
dΦ
dΦ
dΦ
d d
d d
d d d
d d d
d
æ
ö
¶
¶
÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø
¶
¶



''
'
''
'
x
x
x
x
x
x
x
x
B
B
B =
B +
B = B y z - B y z = B y z =
x y z =
V
x
x
dx
y
z
x
dy
dx
dz
dz
dy
( )
dΦ
d
¶
¶

y
y
B
B =
V
y
( )
dΦ
d
¶
¶

z
z
B
B =
V
z
Maurizio Zani
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
dx
y
z
x
dy
dx
dz
dz
dy
( )
( )
( )
( )
( )
dΦ
dΦ
dΦ
dΦ
+
+
d
div
d
æ
ö
¶
¶
¶
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
ç ¶
¶
¶
è
ø





y
x
z
x
y
z
B
B
B
B =
B +
B +
B =
V =
B V
x
y
z
( )
dΦ
0

B =
( )
div
0

B =
Maurizio Zani
dx
y
x
dy
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
dΛ
d
d
'
'
x
'
x
= B
r = B x
B
⋅



( )
d
dΛ
d
''
'
''
x
'
x
= B
r = -B x
B
⋅



( )
( )
( )
dΛ
dΛ
dΛ
d
d
d d
d d
æ
ö
¶
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç ¶
è
ø



'
''
'
''
x
x
x
x
x
x
x
B
B =
B +
B = B x - B x = - B x = -
y
x
y
( )
dΛ
d d
d d
¶
¶

y
y
y
B
B = B y =
x y
x
( )
( )
( )
dΛ
dΛ
dΛ
d d
æ
ö
¶
¶
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
ç ¶
¶
è
ø



y
x
y
x
B
B
B =
B +
B =
-
x y
x
y
Maurizio Zani
dx
y
x
dy
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
dΛ
d d
d
æ
ö
æ
ö
¶
¶
¶
¶
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
¶
¶
¶
¶
è
ø
è
ø

y
y
x
x
z
B
B
B
B
B =
-
x y =
-
S
x
y
x
y
piano xy:
( )
dΛ
d d
d
æ
ö
æ
ö
¶
¶
¶
¶
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
¶
¶
¶
¶
è
ø
è
ø

y
y
z
z
x
B
B
B
B
B =
-
y z =
-
S
y
z
y
z
piano yz:
( )
dΛ
d d
d
æ
ö
æ
ö
¶
¶
¶
¶
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø
¶
¶
¶
¶

x
x
z
z
y
B
B
B
B
B =
-
z x =
-
S
z
x
z
x
piano zx:
Maurizio Zani
dx
y
x
dy
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
( )
dΛ
d
d
d
rot
d
æ
ö
æ
ö
¶
¶
æ
ö
¶
¶
¶
¶
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
⋅
÷
ç
÷
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
è
ø
¶
¶
¶
¶
¶
¶
è
ø
è
ø



y
y
x
x
z
z
x
y
z
B
B
B
B
B
B
B =
-
S +
-
S +
-
S =
B
S
y
z
z
x
x
y
( )
dΛ
d
d
0
0
B = μ
I = μ J
S
⋅



( )
rot
0
B = μ J


Maurizio Zani
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
Teorema di Gauss
Teorema di Ampère
relazioni integrali
condizioni al contorno
relazioni infinitesime
( )
Φ
d
0
B =
B S =
⋅
ò




Δ
0
n
B =
Δ
t
0 b
B = μ K
( )
Λ
d
0 c
B =
B r = μ I
⋅
ò




( )
div
0
B =

( )
rot
0
B = μ J


Maurizio Zani
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
div
0
B =

( )
rot
0
B = μ J


( )
(
)
div rot
0
v

º

( )
rot
B =
A


d
4
0
μ
J
A =
V
r

ó
õ


vale la sovrapposizione degli effetti
A = ?

2
2
2
2
d
d
d
4
4
d
d
4
4
d rot
4
0
t
r
0
t
r
0
t
r
0
r
0
μ
u ×u
μ
u ×u
B =
I s
=
JS s
=
r
r
μ
u ×u
μ
J×u
=
J V
=
V
=
r
r
μ
J
=
V
r





æ ö÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø










d
rot
d
rot
d
4
4
0
0
μ
μ
J
J
B =
B =
V =
V
r
r


æ ö
æ
ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
è ø
è
ø
ó
ó
ô
õ
õ
ò




potenziale vettore
Maurizio Zani
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
grad
0
A = A +
f


( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
rot
rot
grad
rot
rot grad
rot
0
0
0
A =
A +
f
=
=
A
+
f
=
A




( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
2
2
rot
rot rot
grad div
0
B =
A =
=
A -
A = -
A = μ J








equazione di Poisson
( )
div
0
B =

( )
rot
0
B = μ J


( )
(
)
div rot
0
v

º

( )
rot
B =
A


gauge di Coulomb
arbitraria