Meccanica
Punto materiale. Gravitazione. Corpo rigido
Maurizio Zani
Maurizio Zani
Sommario
Meccanica
Metrologia
Cinematica del punto
Dinamica del punto
Esempi di forze
Meccanica relativa
Meccanica relativistica
Relazioni integrali
Meccanica dei sistemi
Gravitazione
Meccanica del corpo rigido
http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1119
Maurizio Zani
Relazioni integrali
Impulso
Lavoro e potenza
Energia
Principi di conservazione
Meccanica
Metrologia
Cinematica del punto
Dinamica del punto
Esempi di forze
Meccanica relativa
Meccanica relativistica
Relazioni integrali
Meccanica dei sistemi
Gravitazione
Meccanica del corpo rigido
Maurizio Zani
Relazioni integrali
forma puntuale/locale
forma integrale/globale
nel tempo
nello spazio
impulso
energia
(
)
(
)
F r; t = m a r; t
⋅
 
 
Maurizio Zani
Impulso
Δ
I = F t


impulso
forza costante:
[ ]
[
][
]
Δ
Ns
I = F
t =
( )
d
d
I =
I =
F t
t
ò
ò



forza variabile:
•
impulso additivo
tra forze
( )
( )
( )
( )
d
d
d
1
2
1
2
1
2
I =
F t + F t
t =
F t
t +
F t
t = I + I
é
ù
ê
ú
ë
û
ò
ò
ò







•
impulso additivo
in intervalli di tempo
( )
( )
( )
d
d
d
3
3
2
1
1
2
t
t
t
12
23
t
t
t
I =
F t
t =
F t
t +
F t
t = I
+ I
ò
ò
ò






Maurizio Zani
Impulso
( )
1
Δ
d
Δ
Δ
Δ
m
Q
I
F =
F t
t =
=
t
t
t
ò




forza media
F
t
Δt
Fm
( )d
Δ
m
I =
F t
t = F
t
ò



( )d
d
Δ
Δ
I =
F t
t =
Q = Q = m v
ò
ò





forza risultante:
d
d
Q
F =
t


teorema dell'impulso
Maurizio Zani
Lavoro e potenza
Δ
W = F
r
⋅


lavoro
forza omogenea:
[
]
[
][ ] Nm J
W = F s =
=
đ
d
W =
W =
F
r
⋅
ò
ò


forza variabile:
•
lavoro additivo
tra forze
d
d
d
1
2
1
2
1
2
W =
F + F
r =
F
r +
F
r = W + W
é
ù ⋅
⋅
⋅
ê
ú
ë
û
ò
ò
ò







•
lavoro additivo
in spostamenti
d
d
d
3
3
2
1
1
2
r
r
r
12
23
r
r
r
W =
F
r =
F
r +
F
r = W + W
⋅
⋅
⋅
ò
ò
ò












dipende dal percorso
joule
Maurizio Zani
Lavoro e potenza
Δ
W = F
r
⋅


lavoro
forza omogenea:
[
]
[
][ ] Nm J
W = F s =
=
đ
d
W =
W =
F
r
⋅
ò
ò


forza variabile:
( )
Δ
Δ cos
W = F
r = F
r
θ
⋅
⋅
⋅


r

F

θ
/ 2
θ < 
/ 2
θ > 
/ 2
θ = 
0
W >
0
W <
0
W =
...motore
...resistente
...nullo
joule
Maurizio Zani
Lavoro e potenza
(
)
Δ
W = F
r = P + R d = P d + R d =
⋅
⋅
⋅
⋅









α
P
m
α
h
non dipende
dall'inclinazione del piano
P
d
α
β
( )
( )
cos
sin
= mg d
β = mg d
α = mgh
R
R
d
^


piano liscio
Maurizio Zani
Lavoro e potenza
Δ
W
P =
t
potenza media
[
]
[
]
[
]
J = W
Δ
s
W
P =
=
t
potenza istantanea
0
d
d
lim
d
d
t
W
W
F r
P =
=
=
= F v
t
t
t



⋅
⋅


 
watt
Maurizio Zani
Energia: energia cinetica
d
d
d
d
d
d
d
d
d
v
r
W =
F
r =
ma
r = m
r = m v
=
m v v
t
t
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
ó
ó
õ
õ
ò
ò
ò








 
forza risultante:
F = ma


teorema dell'energia cinetica
(
)
2
d
d
d
d
d
2
d
d
d
d
d
v v
v
v
v
v
=
=
v + v
=
v
t
t
t
t
t
⋅
⋅
⋅
⋅
 






2
1
d
d
2
v v =
v
⋅
 
2
2
1
1
d
d
d
d
Δ
2
2
W = m v v = m
v =
mv
=
K = K
æ
ö÷
ç
⋅
÷
ç
÷÷
çè
ø
ó
ó
õ
õ
ò
ò
 
2
1
2
K = mv
energia cinetica
?
Maurizio Zani
Energia: energia cinetica
α
P
m
α
h
Δ
W = F
r = mgh
⋅


Δ
W = K
2
1
Δ
2
K = mv
2
1
2
mgh = mv
2
v =
gh
e se il piano fosse scabro?
( )
Δ
cos
att
W
= F
r = -μmg
α d
⋅
⋅


R
( )
( )
2 sin
cos
v =
g
α - μ
α d
é
ù
ê
ú
ë
û
piano liscio
Maurizio Zani
Energia: energia potenziale
B
B
A
A
(1)
(2)
d
d
W =
F
r

F
r
⋅
¹
⋅
ò
ò




(1)
(2)
A
B
y
x
đ
W =
W
ò
in generale,
quindi...
B
B
A
A
(1)
(2)
d
d
W =
F
r =
F
r
⋅
⋅
ò
ò




ma in particolare,
quand'è che...
dipende dal
percorso
forza conservativa
Maurizio Zani
Energia: energia potenziale
(1)
(2)
A
B
y
x
B
B
A
A
(1)
(2)
d
d
W =
F
r =
F
r
⋅
⋅
ò
ò




B
A
B
B
A
B
A
A
(1)
(2)
(1)
(2)
d
d
d
d
d
0
W =
F
r =
F
r +
F
r =
F
r -
F
r =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
ò
ò
ò
ò
ò











( )
Λ
d
0
F =
F
r =
⋅
ò




circuitazione
Maurizio Zani
Energia: energia potenziale
(1)
(2)
A
B
y
x
B
B
B
B
A
A
A
A
(1)
(2)
đ
d
d
-d
W =
W =
F
r =
F
r =
U = - U

⋅
⋅
ò
ò
ò
ò




energia potenziale
U' = U + k
U' = U


costante additiva arbitraria
( )
d
0
r
0
r
U r = U -
F
r
⋅
ò





Maurizio Zani
Energia: energia potenziale
y
F = -mgu


d
d
d
x
y
r = x u + y u



(
) (
)
B
B
A
A
d
d
d
d
B
A
y
y
x
y
y
W =
F
r =
-mgu
x u + y u
= - mg y
⋅
⋅
ò
ò
ò





peso
U
= mgy
(
)
B
B
A
A
d
d
d
B
A
y
peso
peso
y
W = - mg y = -
mgy = -
U
= - U

ò
ò
ò
energia potenziale
del peso
peso
Maurizio Zani
Energia: energia potenziale
(
)
(
)
el
0
0
x
F = -k x - x
= -k x - x u

 

d
d
d
x
y
r = x u + y u



(
)
(
) (
)
(
)
B
B
A
A
d
d
d
d
B
A
x
0
x
x
y
0
x
W =
F
r =
-k x - x u
x u + y u
= -
k x - x
x
⋅
⋅
ò
ò
ò





(
)2
1
2
el
0
U =
k x - x
(
)
(
)
B
B
2
A
A
1
d
d
d
2
B
A
x
0
0
el
el
x
W = -
k x - x
x = -
k x - x
= -
U = - U

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
ò
ò
ò
energia potenziale
della forza elastica
forza elastica
Maurizio Zani
Energia: energia potenziale
B
A
d
int
W
=
F
r = - U

⋅
ò


B
B
A
A
d
d
Δ
ext
ext
W
=
F
r =
-F
r = -W = U
⋅
⋅
ò
ò




Maurizio Zani
Energia: energia potenziale
( )
d
0
r
0
r
U r = U -
F
r
⋅
ò





?
F =

đ
d
d
d
d
d
x
y
z
W = F
r = F x + F y + F z = - U
⋅


d
d
d
d
U
U
U
U =
x +
y +
z
x
y
z
¶
¶
¶
¶
¶
¶
x
U
F = -
x
¶
¶
y
U
F = -
y
¶
¶
z
U
F = -
z
¶
¶
( )
grad
F = -
U

gradiente
U
x
x0
F
F
Maurizio Zani
Energia: energia meccanica
(
)
(
)
d
d
d
tot
i
i
i
W
=
F
r =
F
r =
F
r =
W = K

⋅
⋅
⋅
å
å
å
ò
ò
ò






se Fj conservativa
se Fk non conservativa
d
j
j
j
W =
F
r = - U

⋅
ò


d
...
k
k
W =
F
r =
⋅
ò


tot
i
j
k
c
nc
c
nc
W
=
W =
W +
W = W + W = K

å å å
tot
i
j
k
nc
c
nc
W
=
W =
- U +
W = - U + W = K



å å
å
nc
m
W = K + U = E



m
E = K + U
energia meccanica
Maurizio Zani
Energia: energia meccanica
α
P
m
α
h
ΔU = -mgh
0
m
E = K + U =



2
1
Δ
2
K = mv
2
1
0
2
mv - mgh =
2
v =
gh
e se il piano fosse scabro?
( )
Δ
cos
att
W
= F
r = -μmg
α d
⋅
⋅


R
( )
( )
2 sin
cos
v =
g
α - μ
α d
é
ù
ê
ú
ë
û
piano liscio
m
nc
E = K + U = W


