Meccanica
Punto materiale. Gravitazione. Corpo rigido
Maurizio Zani
Maurizio Zani
Sommario
Meccanica
Metrologia
Cinematica del punto
Dinamica del punto
Esempi di forze
Meccanica relativa
Meccanica relativistica
Relazioni integrali
Meccanica dei sistemi
Gravitazione
Meccanica del corpo rigido
http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1119
Maurizio Zani
Esempi di forze
Forza d'inerzia
Peso
Appoggio
Forza d'attrito
Tensione
Forza elastica
Meccanica
Metrologia
Cinematica del punto
Dinamica del punto
Esempi di forze
Meccanica relativa
Meccanica relativistica
Relazioni integrali
Meccanica dei sistemi
Gravitazione
Meccanica del corpo rigido
Maurizio Zani
Esempi di forze
definito quale sia il sistema in studio,
ogni elemento (vincolo) dell'ambiente
viene rappresentato
con l'interazione (reazione vincolare)
che tale elemento rivolge al sistema
oggetto
forza
diagramma di corpo libero
come si risolve un problema di dinamica?
Maurizio Zani
Peso
accelerazione di gravità
2
9.80665 m / s
g =
a = g


F = ma = mg



P = mg


Galileo: l'acc. di caduta
non dipende dalla massa
Aristotele: l'acc. di caduta è
proporzionale alla massa
P

P

Maurizio Zani
Peso
https://www.youtube.com/watch?v=Oo8TaPVsn9Y
https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs
1971
David Scott - astronauta, Apollo 15
2014
Brian Cox - giornalista, BBC
1590
Galileo Galilei - scienziato, Pisa
Maurizio Zani
Appoggio
R
P
m
piano orizzontale
piano inclinato
appoggio (reazione)
•
forza a contatto
•
vincolo monolatero
•
direzione: ortogonale al piano
•
verso: "uscente" dal piano
• modulo... da determinarsi
appoggio
appoggio (vincolo)
•
indeformabile/rigido
•
"fortissimo"
R
P
m
α
Maurizio Zani
Appoggio
R
P
m
piano inclinato
F = ma


x
x
y
y
F = ma
F = ma
ìïïíïïî
uy
ux
( )
( )
sin
cos
0
x
y
P
α = ma = ma
R - P
α = ma =
ìïï
íïïïî
α
( )
( )
sin
cos
a = g
α
R = mg
α
ìïïïïíïïïïî
( )
2
sin
1
2
a = g
α
v = at
x = at
ìïïïïïï
íïïïïïïïî
dinamica
cinematica
α
Maurizio Zani
Forza d'attrito
attrito
•
forza a contatto
•
vincolo bilatero
•
direzione: parallela al piano
•
verso: contrario al moto
• modulo... da determinarsi
piano
•
da liscio a scabro
statico (per mettere in moto)
dinamico (per mantenere il moto)
radente (moto traslatorio: strisciamento)
volvente (moto rotatorio: rotolamento)
viscoso (moto di un solido in un fluido)
Maurizio Zani
Forza d'attrito: attrito radente
appoggio
Fatt
Fext
Fs max
Fd
statica
dinamica
attrito
•
non dipende dall'area della superficie
•
è proporzionale alla forza d'appoggio R
R
P
m
Fext
Fatt
s
s max
s
d
d
F
F
= μ R
F = μ R
ì
£
ïïíïïî
coefficiente d'attrito
statico/dinamico
s
d
μ
μ
³
attrito
Maurizio Zani
Forza d'attrito: attrito radente
R
P
m
Fatt
piano inclinato
uy
ux
α
F = ma


x
x
y
y
F = ma
F = ma
ìïïíïïî
( )
( )
sin
cos
0
att
x
y
P
α - F
= ma = ma
R - P
α = ma =
ìïï
íïïïî
α
inclinazione massima
per cui non si muove?
( )
( )
sin
cos
att
s
P
α = F

μ R
R = P
α
ìï
£
ï
íïïïî
( )
tan
s
α
μ
£
legge di
Coulomb-Morin
Maurizio Zani
Forza d'attrito: attrito viscoso
att
F
= β v = γ η v
⋅
⋅
⋅
bassa velocità (regime laminare)
geometria (corpo)
2
att
F
= C S ρ v
⋅
⋅
⋅
alta velocità (regime turbolento)
6π
att
F
= R η v
⋅
⋅
geometria (corpo)
densità (fluido)
per una sfera,
legge di Stokes
raggio
coefficiente d'attrito
viscoso
velocità (corpo)
viscosità (fluido)
Maurizio Zani
Tensione
tensione
•
forza a contatto
•
vincolo monolatero
•
direzione: parallela al filo
•
verso: "entrante" nel filo
• modulo... da determinarsi
tensione
T
P
m
filo
•
inestensibile/rigido
•
"fortissimo"
Maurizio Zani
r
θ
T
P
R
Tensione
pendolo conico
F = ma


r
r
y
y
F = ma
F = ma
ìïïíïïî
( )
( )
2
sin
cos
0
r
y
v
T
θ = ma = ma = m
R
P - T
θ = ma =
ìïïïïíïïïïî
( )
( )
( )
sin
sin
tan
T
θ R
v =
=
gr
θ
θ
m
uy
ur
θ
inizialmente in moto
con velocità v tangenziale
e se inizialmente
fosse stato fermo?
( )
cos
P
T =
θ
pendolo semplice
( )
sin
R = r
θ
Maurizio Zani
Forza elastica
x0
F
S
Δx
F
σ =
S
Δ
0
0
0
x - x
x
ε =
=
x
x
[ ]
[
]
[
]
2
N
m
F
σ =
=
S
[ ]
[
]
[
]
Δ
m 1
m
0
x
ε =
=
=
x
sforzo
deformazione relativa
trazione
σ
ε
σr
σs
regione plastica
regione elastica
(lineare e reversibile)
rottura
snervamento
σ = Eε
legge di Hooke
modulo di elasticità/Young
Maurizio Zani
Forza elastica
Δ
0
F
x
= E
S
x
Δ
Δ
0
S
F = E
x = k
x
x
æ
ö÷
ç
÷
⋅
ç
÷
ç
÷
çè
ø
costante elastica
σ = Eε
modulo di elasticità/Young
x
trazione
(
)
x
0
x
F = -k x u = -k x - x u




forza elastica
lunghezza a riposo
forza di richiamo
Maurizio Zani
Forza elastica
oggetto
meccanica: costante elastica
Δ
0
F = k

x
E S
x
=
materiale
geometria
elettricità: capacità elettrica
0 d
q = C
V
ε
=
S

conduttori: resistenza elettrica
magnetismo: induttanza
termodinamica: resistenza termica
S
V = R =
I
ρ L

( )
2
0 L
B
= L = μ
I
N S


1
th
d
T = R =
Q
A
k


rapporto causa-effetto
Maurizio Zani
Forza elastica: moto armonico libero
( )
F = ma = mx t

( )
( )
0
k
x t +
x t =
m

( )
(
)
sin
0
0
x t = A
ω t + φ
2π
0
k
ω =
=
T
m
pulsazione propria
x
t
T
x
(
)
tan
0
0
0
0
x
φ
= ω
v
2
2
0
0
0
v
A = x
+
ω
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
( )
el
F = -kx t
F
Maurizio Zani
Forza elastica: moto armonico smorzato
( )
( )
( )
0
β
k
x t +
x t +
x t =
m
m


( )
vis
F
= -βx t

( )
F = ma = mx t

moto armonico sotto-smorzato
( )
el
F = -kx t
( )
?
x t =
moto armonico sovra-smorzato
moto armonico smorzato critico
c
0
ω > ω
c
0
ω < ω
c
0
ω = ω
1
2
c
c
β
ω =
=
m
τ
pulsazione critica
x
Maurizio Zani
x
t
Forza elastica: moto armonico sotto-smorzato
2
2
c
0
0
ω = ω
- ω
< ω
( )
(
)
e
sin
c
t
-
τ
x t = A
ωt + φ
( )
el
F = -kx t
( )
vis
F
= -βx t

( )
( )
( )
0
β
k
x t +
x t +
x t =
m
m


( )
F = ma = mx t

x
c
0
ω > ω
c
0
ω < ω
c
0
ω = ω
Maurizio Zani
x
t
Forza elastica: moto armonico sovra-smorzato
2
2
c
c
1,2
0
λ
= -ω ± ω
- ω
( )
e
e
1
2
λ t
λ t
x t = A
+ B
( )
el
F = -kx t
( )
vis
F
= -βx t

( )
( )
( )
0
β
k
x t +
x t +
x t =
m
m


( )
F = ma = mx t

x
c
0
ω > ω
c
0
ω < ω
c
0
ω = ω
Maurizio Zani
x
t
A/B > 0
A/B < 0
Forza elastica: moto armonico smorzato critico
c
1
c
τ =
ω
( )
(
)e
c
t
-
τ
x t = A + Bt
è il moto smorzato più veloce
( )
el
F = -kx t
( )
vis
F
= -βx t

( )
( )
( )
0
β
k
x t +
x t +
x t =
m
m


( )
F = ma = mx t

x
c
0
ω > ω
c
0
ω < ω
c
0
ω = ω
Maurizio Zani
Forza elastica: moto armonico forzato
( )
( )
( )
( )
F t
β
k
x t +
x t +
x t =
m
m
m


( )
ext
F
= F t
( )
F = ma = mx t

( )
(
)
sin
+ smorz.
f
x t = A
ω t - φ
( )
(
)
sin
0
f
F t = F
ω t
( )
el
F = -kx t
( )
vis
F
= -βx t

( )
?
x t =
x
Maurizio Zani
Forza elastica: moto armonico forzato
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
0
0
f
c
f
F
A =
m
ω
- ω
+ ω ω
( )
F = ma = mx t

(
)
sin
ext
0
f
F
= F
ω t
( )
(
)
sin
f
x t = A
ω t - φ
( )
el
F = -kx t
( )
vis
F
= -βx t

A
ωf
ω0
β
risonanza
( )
( )
( )
( )
F t
β
k
x t +
x t +
x t =
m
m
m


x
Maurizio Zani
Forza elastica: moto armonico forzato
β
ω0
φ
ωf
π
π/2
( )
F = ma = mx t

(
)
sin
ext
0
f
F
= F
ω t
( )
2
2
2
tan
c
f
0
f
ω ω
φ =
ω
- ω
( )
el
F = -kx t
( )
vis
F
= -βx t

( )
(
)
sin
f
x t = A
ω t - φ
( )
( )
( )
( )
F t
β
k
x t +
x t +
x t =
m
m
m


x