Meccanica
Punto materiale. Gravitazione. Corpo rigido
Maurizio Zani
Maurizio Zani
Sommario
Meccanica
Metrologia
Cinematica del punto
Dinamica del punto
Esempi di forze
Meccanica relativa
Meccanica relativistica
Relazioni integrali
Meccanica dei sistemi
Gravitazione
Meccanica del corpo rigido
http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1119
Maurizio Zani
Meccanica dei sistemi
Cinematica dei sistemi
Dinamica dei sistemi
Dinamica relativa dei sistemi
Relazioni integrali
Urti
Meccanica
Metrologia
Cinematica del punto
Dinamica del punto
Esempi di forze
Meccanica relativa
Meccanica relativistica
Relazioni integrali
Meccanica dei sistemi
Gravitazione
Meccanica del corpo rigido
Maurizio Zani
Cinematica dei sistemi
come studiare "complessivamente"
un sistema di punti materiali,
anziché studiare "singolarmente"
ogni punto materiale del sistema?
1
N

Maurizio Zani
Cinematica dei sistemi: centro di massa
y
x
r2
r1
m1
m2
i i
i i
C
i
m r
m r
r
=
=
m
m
å å
å



centro di massa
i
i
m =
må
massa del sistema
i
i
C
i i
C
i i
C
m x
x =
m
m y
y =
m
m z
z =
m
ìïïïïïïïïïïïíïïïïïïïïïïïî
å
å
å
punto geometrico,
non materiale,
ma che "pesa" le masse
Maurizio Zani
Cinematica dei sistemi: centro di massa
i
i
1 1
2 2
C
1
2
i
m x
m x + m x
x =
=
m + m
m
å
å
stesse masse (m1 = m2)
2
1 1
2 2
1
2
C
1
2
m x + m x
x + x
x =
=
m + m
1 1
2 2
1 1
C
1
1
2
1
m x + m x
m x
x =


= x
m + m
m
»
masse molto diverse (m1 >> m2)
d
d
C
x m
x =
m
ò
ò
nel discreto
nel continuo
Maurizio Zani
Cinematica dei sistemi: centro di massa
i i
i i
C
i
m r
m r
r
=
=
m
m
å å
å



d
d
d
d
d
d
i
i
i i
i i
i i
C
C
i
i
i
r
m
m r
m v
m v
r
t
v =
=
=
=
=
t
t
m
m
m
m
å
å
å
å
å
å
å






d
d
d
d
d
d
i
i
i i
i
i
i
i
C
C
i
i
i
v
m
m v
m a
m a
v
t
a =
=
=
=
=
t
t
m
m
m
m
å
å
å
å
å
å
å






definizione
proprietà
proprietà
definizione
Maurizio Zani
Dinamica dei sistemi: quantità di moto
i
i i
Q =
Q =
m v
å å



i i
C
m v
v =
m
å


quantità di moto del sistema
i
i i
C
Q =
Q =
m v = mv
å å




I teorema del centro di massa
ai fini della quantità di moto,
tutto va come se
tutta la massa fosse
concentrata nel centro di massa
Maurizio Zani
m4
Dinamica dei sistemi: quantità di moto
(
)
(
)
int
ext
i
i
i
F = F
+ F



(
)
(
)
0
int
int
i
F
=
F
=
å


(
)
(
)
ext
ext
i
F
=
F
= ...
å


risultante
con punti ∈ al sistema (frecce colorate)
con punti ∉ al sistema (frecce nere)
m1
m3
(
)
(
)
d
d
int
ext
i
i
i
i
Q
F = F
+ F
=
t




m2
sistema
teorema dell'impulso
Maurizio Zani
Dinamica dei sistemi: quantità di moto
i
F =
Få


forza totale sul sistema
ai fini della dinamica,
tutto va come se
tutta la massa fosse
concentrata nel centro di massa
(
)
(
)
(
)
int
ext
ext
i
i
i
F =
F =
F
+
F
= F
å å
å





II teorema del centro di massa
(
)
(
)
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
ext
i
C
i
i
C
C
Q
v
Q
F
= F =
F =
=
Q =
=
mv
= m
= ma
t
t
t
t
t
å å
å









I equazione cardinale
(
)
d
d
ext
Q
F
=
t


(
)
ext
C
F
= ma


Maurizio Zani
Dinamica dei sistemi: momento angolare
(
)
O
O i
i
i
L =
L
=
r Q
´
å
å




momento angolare del sistema
y
x
m
O
F
r
Q
O
L = r Q
´



Maurizio Zani
m4
Dinamica dei sistemi: momento angolare
(
)
(
)
int
ext
O i
O i
O i
M
= M
+ M



(
)
(
)
0
int
int
O
O i
M
=
M
=
å


(
)
(
)
ext
ext
O
O i
M
=
M
= ...
å


risultante
con punti ∈ al sistema (frecce colorate)
con punti ∉ al sistema (frecce nere)
m1
m3
(
)
(
)
d
d
int
ext
O i
O i
O i
O i
L
M
= M
+ M
=
t




m2
sistema
y
x
O
Maurizio Zani
Dinamica dei sistemi: momento angolare
O
O i
M =
Må


momento totale sul sistema
(
)
(
)
(
)
int
ext
ext
O
O i
O i
O i
O
M =
M
=
M
+
M
= M
å
å
å





(
)
d
d
d
d
d
d
ext
O i
O
O
O
O i
O i
L
L
M
= M =
M
=
=
L
=
t
t
t
å
å
å






II equazione cardinale
(
)
d
d
ext
O
O
L
M
=
t


Maurizio Zani
Dinamica dei sistemi: equazioni cardinali
I equazione cardinale
(
)
d
d
ext
Q
F
=
t


II equazione cardinale
(
)
d
d
ext
O
O
L
M
=
t


identifica il moto traslatorio del sistema
identifica il moto rotatorio del sistema
(
)
d
d
ext
O'
O'
O'
L
M
=
+ v
Q
t
´




es. urti
es. gravitazione
ma...
... se O' fisso
... se O'≡C
0
O'
v
=

C
C
v // Q = mv



in realtà
Maurizio Zani
Relazioni integrali: impulso
d
i
i
I =
I =
F t
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û
å å ò



impulso del sistema
(
)
(
)
(
)
int
ext
ext
i
i
i
F =
F =
F
+
F
= F
å å
å





(
)
d
d
d
d
Δ
ext
i
i
i
I =
I =
F t =
F
t =
F
t =
Q = Q
é
ù
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û
ê
ú
ë
û
å å
å
ò
ò
ò
ò







teorema dell'impulso
Δ
I = Q


Maurizio Zani
teorema dell'energia cinetica
Relazioni integrali: energia cinetica
2
1
2
i
i i
K =
K =
m v
å å
energia cinetica del sistema
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) Δ
int
ext
int
ext
int
ext
i
i
i
i
i
W =
W =
W
+ W
=
W
+
W
= W
+ W
= K
å å
å
å
non è nullo!
Δ
W = K
Maurizio Zani
Principi di conservazione
sistema isolato
(
)
d
0
d
ext
Q
F
=
=
t


costante
Q =

(
)
d
0
d
ext
O
O
L
M
=
=
t


costante
O
L =

(
)
0
ext
U
=
(
)
costante
int
E = K + U
=
sistema a massa costante
non soggetto a forze esterne
spazio omogeneo
spazio isotropo
tempo omogeneo
Maurizio Zani
Urti
(
)
d
d
ext
Q
F
=
t


(
)
0
ext
F
=

costante
Q =

Δ
I = Q


F
t
Δt
urto
interazione
relativamente intensa
e relativamente breve
Maurizio Zani
F
t
Δt
Fm
Urti
(
)
d
d
ext
Q
F
=
t


(
)
0
ext
F

¹

Δ
I = Q


ma non impulsive
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
d
d
d
d
d
d
d
d
int
ext
int
ext
int
1
1
1
1
1
1
1
1
int
ext
int
ext
int
2
2
2
2
2
2
2
2
I = I
+ I
=
F
t =
F
t +
F
t
F
t = Q
I = I
+ I
=
F
t =
F
t +
F
t
F
t = Q


ìïï
»
ïïïïíïïïï
»
ïïî
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
















(
)
(
)
int
int
2
1
F
= -F


Δ
0
I = Q =


Maurizio Zani
Urti
(
)
(
)
int
ext
E = K + U
+ U
si conserva (forze elementari sono conservative)
cambia sì/no (allora K cambia sì/no)
si conserva (è posizionale)
urto anelastico
urto elastico
Maurizio Zani
Urti elastici
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
m v + m v = m v ' + m v '
m v + m v
= m v ' + m v '
ìïïïïïï
íïïïïïïïî
m1
m2
v1
v2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
m - m
m
v ' = v
+ v
m + m
m + m
m
m - m
v ' = v
+ v
m + m
m + m
ìïïïïïïïíïïïïïïïî
Maurizio Zani
1
2
2
1
v ' = v
v ' = v
ìïïíïïî
Urti elastici
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
m - m
m
v ' = v
+ v
m + m
m + m
m
m - m
v ' = v
+ v
m + m
m + m
ìïïïïïïïíïïïïïïïî
stesse masse (m1 = m2)
masse diverse (m2 > m1) e v2 = 0
- se inoltre v2 = 0
0
1
2
1
v ' =
v ' = v
ìïïíïïî
0
0
1
2
v ' <
v ' >
ìïïíïïî
masse molto diverse (m2 >> m1) e v2 = 0
-
0
1
1
2
v ' = v
v ' =
ìïïíïïî
Maurizio Zani
Urti anelastici
m1
m2
v1
v2
(
)
(
)
int
ext
E = K + U
+ U
urto esogeno
(
)
int
U

K
ß

urto endogeno
(
)
int
U

K

ß
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
m v + m v = m v ' + m v '
m v + m v
= m v ' + m v '
ìïïïïïï
íïïïïïïïî