Meccanica
Punto materiale. Gravitazione. Corpo rigido
Maurizio Zani
Maurizio Zani
Sommario
Meccanica
Metrologia
Cinematica del punto
Dinamica del punto
Esempi di forze
Meccanica relativa
Meccanica relativistica
Relazioni integrali
Meccanica dei sistemi
Gravitazione
Meccanica del corpo rigido
http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1119
Maurizio Zani
Gravitazione
Cinematica gravitazionale
Dinamica gravitazionale
Orbite planetarie
Meccanica
Metrologia
Cinematica del punto
Dinamica del punto
Esempi di forze
Meccanica relativa
Meccanica relativistica
Relazioni integrali
Meccanica dei sistemi
Gravitazione
Meccanica del corpo rigido
Maurizio Zani
Fino al 1500
•
teoria di Aristotele (teoria geocentrica)
•
i pianeti si muovono su orbite circolari attorno alla Terra
• misure di Tolomeo basata su epicicloidi
Dopo il 1500
•
rivoluzione di Copernico (teoria eliocentrica)
•
i pianeti si muovono su orbite ellittiche attorno al Sole
•
le misure non sono più precise di quelle di Tolomeo!
Nel 1600
 Brahe misura a occhio nudo le posizioni dei pianeti
 Galilei osserva per mezzo del cannocchiale
 Kepler riprende le misure per costruire le sue leggi sulla
cinematica celeste
 Newton parte dalla dinamica terrestre e costruisce la teoria
che descrive la dinamica celeste
Gravitazione
Maurizio Zani
Cinematica gravitazionale: I legge di Kepler
I legge di Kepler
(o delle distanze)
"Ogni pianeta si muove attorno al Sole
su orbite ellittiche di cui il Sole
occupa uno dei due fuochi"
afelio
perielio
Terra
Sole
 
2
1
r
F = -k
u
r


questo perché...
( )
1
cos
p
r =
+ e
θ
eccentricità (0 ≤ e < 1)
y
x
S
A
P
T
r
b
a
f
f
e =
a
Maurizio Zani
Cinematica gravitazionale: I legge di Kepler
Pianeta
m (kg)
R (m)
T (s)
e
a (m)
T2/a3 (s2/m3)
Sole
1.98ꞏ1030
696ꞏ106
Mercurio
32.0ꞏ1021
2.43ꞏ106
7.60ꞏ106
0.206
57.9ꞏ109
2.98ꞏ10-19
Venere
4.88ꞏ1024
6.06ꞏ106
19.4ꞏ106
0.007
108ꞏ109
2.98ꞏ10-19
Terra
5.98ꞏ1024
6.37ꞏ106
31.6ꞏ106
0.017
150ꞏ109
2.96ꞏ10-19
Luna
7.35ꞏ1022
1.74ꞏ106
2.36ꞏ106
0.055
384ꞏ106
Marte
64.0ꞏ1021
3.37ꞏ106
59.4ꞏ106
0.093
228ꞏ109
2.98ꞏ10-19
Giove
1.90ꞏ1027
69.9ꞏ106
374ꞏ106
0.048
778ꞏ109
2.97ꞏ10-19
Saturno
568ꞏ1024
58.5ꞏ106
935ꞏ106
0.056
1.43ꞏ1012
2.99ꞏ10-19
Urano
87.0ꞏ1024
23.3ꞏ106
2.65ꞏ109
0.046
2.87ꞏ1012
2.97ꞏ10-19
Nettuno
103ꞏ1024
22.1ꞏ106
5.22ꞏ109
0.009
4.50ꞏ1012
2.99ꞏ10-19
Plutone
1.08ꞏ1024
3.00ꞏ106
7.82ꞏ109
0.250
5.92ꞏ1012
2.95ꞏ10-19
Maurizio Zani
y
x
S
A
P
T
r
Cinematica gravitazionale: II legge di Kepler
II legge di Kepler
(o delle aree)
"Il raggio vettore che unisce il Sole
a un pianeta descrive
aree uguali in tempi uguali"
( ) r
F = -F r u


questo perché...
d
costante
d
ar
Area
v
=
=
t
velocità areolare
Maurizio Zani
Cinematica gravitazionale: III legge di Kepler
III legge di Kepler
(o dei periodi)
"Il rapporto tra il quadrato del periodo
di rivoluzione e il cubo del semiasse
maggiore è il medesimo per ogni pianeta"
S
pianeta
M >> m
2
3
costante
T
=
a
questo perché...
y
x
S
T
r
a
b
Maurizio Zani
Dinamica gravitazionale: forza gravitazionale
meccanica terrestre
(3 principi)
meccanica celeste
(3 leggi)
Isaac Newton
(1643 - 1727)
Johannes Kepler
(1571 - 1630)
?
Maurizio Zani
Dinamica gravitazionale: forza gravitazionale
Ipotizzo moto circolare (I legge di Kepler)
Velocità areolare costante (II legge di Kepler)
Velocità angolare costante
Forza centripeta (II principio della dinamica)
Dalla III legge di Kepler...
r
mT
FL
v
mL
ω
2
d
1
d
1
costante
d
2 d
2
ar
A
r r θ
v
=
=
=
r ω =
t
t
⋅
2
2
2π
L
L
L
F = m ω r = m
r
T
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø
2
3
T
= k
r
2
2
2
2
2
2π
1
4π
4π
L
L
L
L
m
F = m
r =
m
r =
T
k
T
r
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø
Maurizio Zani
Dinamica gravitazionale: forza gravitazionale
III principio della dinamica
forza gravitazionale (di Newton)
r
mT
FL
v
mL
ω
2
L
L
L
m
F = γ
r
2
L T
r
m m
F = -γ
u
r


2
T
T
T
m
F = γ
r
costante di gravitazione universale
-11
2
2
6.67428 10
Nm / kg
γ =

⋅
2
2
2
4π
L
L
L
L
1
m
m
F =
= γ
k
r
r
forza fondamentale
Maurizio Zani
Dinamica gravitazionale: forza gravitazionale
RT
MT
P
m
r
accelerazione di gravità
2
1 2
r
m m
F = -γ
u
r


vicino alla superficie terrestre...
(
)
2
2
2
1 2
T
T
T
T
m m
M
M
F = γ
= γ
m
γ
m = mg = P
r
R
R + r
»
2
2 = 9.80665 m / s
T
T
M
g = γ
R
24
6
5.98 10 kg
6.37ꞏ10 m
T
T
M =
R =
ìï
⋅
ïïíïïïî
Maurizio Zani
Dinamica gravitazionale: campo gravitazionale
2
1 2
r
m m
F = -γ
u
r


2
2
1 2
2
r
1
r
1 2
m m
m
F = -γ
u = m -γ
u
= m G
r
r
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø




2
r
m
G = -γ
u
r


campo gravitazionale
1
i
1 i
1
i
1
F =
F =
m G = m
G = m G
å å
å





effetto
causa
oggetto
[
]
[
]
[
]
2
N
m / s
kg
F
G =
=
=
m
vale la sovrapposizione degli effetti
i
G =
Gå


d
G =
G
ò


Maurizio Zani
Dinamica gravitazionale: energia potenziale gravitazionale
2
1 2
r
m m
F = -γ
u
r


d
d
d
r
θ
r = r u + r θ u



(
)
B
B
2
2
A
A
d
d
d
d
B
A
r
1 2
1 2
r
r
θ
r
m m
m m
W =
F
r =
-γ
u
r u + r θ u
= -
γ
r
r
r
æ
ö÷
ç
⋅
÷⋅
ç
÷
ç
÷
è
ø
ó
õ
ò
ò





1 2
grav
m m
U
= -γ
r
B
B
2
A
A
d
d
d
B
A
r
1 2
1 2
grav
grav
r
m m
m m
W = -
γ
r = -
-γ
= -
U
= - U
r
r

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø
ó
õ
ò
ò
energia potenziale
gravitazionale
forza gravitazionale
d
d
d
x
y
r = x u + y u


