BAB 2
LATAR BELAKANG MATEMATIK TRANSFORMASI LAPLACE


1. PENDAHULUAN

Dalam mempelajari sistem kendali sangat bergantung pada penggunaan
matematika terapan. Satu dari tujuan utama mempelajari sistem kendali adalah
untuk mengembangkan alat bantu analitis sehingga perancang meng-hasilkan
perancangan yang dapat diprediksi dan dapat dipercaya tanpa tergantung
sepenuhnya pada percobaan atau simulasi komputer.
Untuk mempelajari teori kendali klasik, yang diuraikan dalam buku ini, latar
belakang matematis yang perlu adalah masalah teori variabel kompleks,
persamaan diferensial dan diferensi, transformasi Laplace dan transformasi z,
dan sebagainya. Sedangkan teori kendali modern, mensyaratkan latar belakang
matematis yang lebih lengkap. Sebagai tambahan dari masalah di atas, teori
kendali modern didasarkan pada dasar teori matriks, teori himpunan,
transformasi dan aljabar linear, kalkulus variasi, pemrograman matematis,
teori probabilitas, dan matematika lanjut lainnya.
Pada bab ini akan diuraikan bahan-bahan yang menjadi latar belakang,
yang dibutuhkan untuk masalah sistem kendali. Karena keterbatasan tempat dan
sebenarnya kebanyakan pokok masalah tersebut harus dikaji ulang sendiri oleh
pembaca, masalah matematis ini tidak akan diuraikan dengan lengkap. Bagi

Bab-2 Transformasi Laplace
12
pembaca yang ingin mendalami masalah ini harus menelaah lebih lanjut buku-buku
yang berhubungan dengan masalah tersebut.

Konsep Variabel Kompleks
Suatu variabel kompleks s mempunyai dua komponen: komponen nyata s
dan komponen khayal ω. Secara grafis komponen nyata s dinyatakan dengan
sumbu s pada arah horizontal, dan komponen khayal diukur sepanjang sumbu
vertical jω, pada bidang kompleks s. Gambar 2-1 menggambarkan bidang kompleks
s, yang pada titik sembarang s=s1 ditentukan oleh koordinat
1σ
σ =
atau
1ω
ω =

atau secara sederhana
1
1
1
ω
σ
j
s
+
=
.
Fungsi Variabel Kompleks
Fungsi G(s) dikatakan merupakan fungsi variabel kompleks s, jika untuk setiap nilai
s terdapat satu atau lebih nilai G(s) Karena s mempunyai bagian nyata dan khayal,
fungsi G(s) juga dinyatakan dengan bagian nyata dan khayal, yaitu

dengan Re G(s) menyatakan bagian nyata dan Im G(s) menyatakan
bagian khayal dari G(s). Fungsi G(s) juga dinyatakan dengan bidang kompleks G(s),
dengan Re G(s) sebagai sumbu nyata dan Im G(s) sebagai sumbu khayal. Jika
untuk setiap nilai s hanya terdapat satu nilai G(s) pada bidang G(s), G(s) dikatakan
merupakan fungsi nilai tunggal, dan pemetaan dari satu titik pada bidang-s ke titik
pada bidang G(s) dikatakan sebagai nilai tunggal (Gambar 2-2). Jika pemetaan
dari bidang G(s) ke bidang-s juga merupakan nilai tunggal, pemetaan tersebut
dikatakan pemetaan satu-satu. Walaupun bergitu, banyak fungsi untuk pemetaan

Farida Asriani
13
dari bidang fungsi ke bidang variabel kompleks yang bukan bernilai tunggal.
Misalnya fungsi

terlihat jelas bahwa untuk setiap nilai s, hanya terdapat satu nilai unik G(s).
Tetapi untuk pemetaan sebaliknya tidak demikian; misalnya titik G(s) = ∞ dipetakan
pada dua titik pada bidang s, yaitu s = 0 dan s= -1.

Gambar 2.1. Bidang kompleks s



Gambar 2.2. Pemetaan nilai tunggal dari bidang s ke bidang G(s)

Bab-2 Transformasi Laplace
14
Fungsi Analitik
Suatu fungsi G(s) dari variabel kompleks s disebut fungsi analitik dalam daerah s
jika fungsi tersebut dan turunanannya berada pada daerah tersebut

2.2 TRANSFORMASI LAPLACE
Marilah kita definisikan
/(/) = fungsi waktu t sedemikian rupa sehingga fit) = 0 untuk t < 0
s = variabel kompleks
= simbol operasional yang menunjukkan bahwa besaran yang didahuluinya
ditransformasi dengan integral Laplace ∫
∞
−
0
dt
e
st

F(s) = transformasi Laplace dari f(t)
Selanjutnya transformasi Laplace dari/(f) didefinisikan oleh

Transformasi Laplace suatu fungsi fit) ada jika fit) secara sepotong-sepotong kon-
tinyu pada setiap selang-terhingga (finite interval) dalam daerah t > 0 dan jika fungsi
tersebut mempunyai orde eksponensial dengan membesarnya t menuju tak
terhingga. Dengan kata lain, integral Laplace harus konvergen. Suatu fungsi f(f)
mempunyai orde eksponensial jika ada suatu konstanta nyata positif , a sedemikian
rupa sehingga fungsi
mendekati nol jika t mendekati tak terhingga.



Farida Asriani
15
Teorema Transformasi Laplace
Penggunaan transformasi Laplace dalam berbagai hal disederhanakan dengan
memanfaatkan sifat-sifat trans-j formasi. Sifat-sifat ini dinyatakan dengan teorema
berikut, dengan tidak memberikan bukti.
Teorema 1. Perkalian dengan suatu Konstanta
Misal k adalah suatu konstanta dan F(s) adalah transformasi Laplace dari f(f).
Kemudian ,

Teorema 2. Penjumlahan dan Pengurangan
Misal F}(s) dan F0(s) adalah transformasi Laplace dari f}(i) dan /2(0 . Kemudian

Teorema 3. Diferensiasi
Misal F(s) adalah transformasi Laplace dari f(t) dan f(O) adalah limit dari f(t) dengan
t mendekati 0. Tra formasi Laplace dari turunan f(t) terhadap waktu adalah

Bentuk umum untuk turunan berorde lebih tinggi dari f(t),

Teorema 4. Integrasi
Transformasi Laplace dari intergral pertama f(t) terhadap waktu adalah transformasi
Laplace dari f(f) dibagi dengan s; yaitu,


Bab-2 Transformasi Laplace
16
Untuk integrasi orde ke n,
[
]
n
n
t
t
t
s
s
F
dt
dt
dt
d
f
n
)
(
...
)
(
...
1
2
1
0
0
0
2
1
=
−
∫
∫
∫
τ
τ


Teorema 5. Pergeseran terhadap Waktu
Transformasi Laplace dari f(f) yang ditunda dengan waktu T adalah sama dengan
transformasi Lapace f(f) dikalikan dengan e-Ts; yaitu
[
]
)
(
)
(
)
(
s
F
e
T
t
u
T
t
f
Ts
s
−
=
−
−


Dengan us(t-T) menyatakan fungsi undak satuan yang digeser terhadap waktu ke
kanan sebesar T.

Teorema 6. Teorema nilai awal
Jika transformasi laplace f(t) adalah F(s), kemudian
)
(
lim
)
(
lim
0
s
sF
t
f
s
t
∞
→
→
=
jika
limitnya ada.
Teorema 7. Teorema nilai akhir.
Jika transformasi (t) adalah F(s), dan sF(s) analitis pada sumbu khayal dan berada
pada bagian kanan bidang s, kemudian
)
(
lim
)
(
lim
0
s
sF
t
f
s
t
→
∞
→
=

Teorema nilai akhir sangat berguna untuk analisis dan merancang sistem kendali,
karena memberikan nilai akhir dari fungsi waktu dengan mengetahui perilaku
transformasi Laplace-nya pada s = 0. Teorema nilai akhir tidak berlaku jika sF(s)
mempunyai pole yang bagian nyatanya nol atau positif, yaitu ekivalen dengan per-

Farida Asriani
17
syaratan analitis dari sF(s) pada bidang sebelah kanan seperti yang telah dinyatakan
pada teorema. Contoh berikut mengilustrasikan perhatian khusus pada penggunaan
teorema.
Teorema 8. Pergeseran Kompleks
Transformasi Laplace dari f(t) yang dikalikan dengan e±ar, dengan a merupakan
suatu konstanta, akan sama dengan transformasi Laplace, dengan s diganti oleh s
± a; yaitu
Teorema 9. Konvolusi Nyata (Perkalian Kompleks)
Misal F1(s) dan F2(s) adalah transformasi Laplace dari /j(t) dan/2(f), dan /1(t) = 0,
/2(t) = 0, untuk t < 0 kemudian,
F1(s) F2(s) =
[/2(t)* /1(t)]


=
=






−
∫
t
d
t
f
f
0
2
1
)
(
)
(
τ
τ
τ






−
∫
t
d
t
f
f
0
1
2
)
(
)
(
τ
τ
τ

dengan simbol "*" menyatakan konvolusi dalam domain waktu.
Persamaan diatas menunjukkan bahwa perkalian dari dua fungsi yang
ditransformasikan dalan domain-s kompleks sama dengan konvolusi dari dua fungsi
nyata t dalam domain-f. Suatu fakta penting untuk diingat adalah transformasi
Laplace balik dari hasil kali dua fungsi pada domain-s tidak sama dengan hasil kali
dari dua fungsi nyata dalam domain t.
[e ±atf(t)] = F(s ± α)

Bab-2 Transformasi Laplace
18

Aplikasi Transformasi Laplace terhadap Solusi Persamaan Diferensial Linear
Biasa
Persamaan diferensial linear biasa dapat diselesaikan oleh metode transformasi
Laplace dengan bantuan teore-ma transformasi Laplace yang telah diberikan,
uraian pecahan parsial, dan tabel transformasi Laplace. Prosedurnya adalah
sebagai berikut:
1. Transformasikan persamaan diferensial ke domain-.? dengan transformasi
Laplace dengan menggunakan tabel transformasi Laplace.
2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah ditransformasi dan cari variabel
keluaran.
3. Bentuklah uraian pecahan parsial ke persamaan aljabar yang telah
ditransformasi.
4. Dapatkan transformasi Laplace balik dari tabel transformasi Laplace

2.3. TRANSFORMASI LAPLACE BALIK
Proses matematik dalam mengubah ekspresi variabel kompleks menjadi ekspresi
waktu disebut transformasi balik. Notasi transformasi balik adalah
,sehingga

Dalam menyelesaikan soal dengan menggunakan metoda transformasi Laplace,
kita dihadapkan pada suatu pertanyaan tentang cara mencari f(t) dari F(s). Secara
mate-matisf(t) diperoleh dari F(s) dengan ekspresi sebagai berikut:


Farida Asriani
19


di mana c, adalah absis konvergensi, yang^merupakan konstanta nyata yang dipilih
sede-mikian rupa sehingga lebih besar dari semua titik singuler dari F(s). Jadi
lintasan integrasi sejajar dengan sumbu jω dan digeser sejauh c dari sumbu
khayal. Lintasan ini ber-ada di sebelah kanan semua titik singuler.
Proses integrasi di atas kelihatannya sukar dilakukan. Untunglah, ada beberapa
metoda yang lebih sederhana untuk mencarif(t) dari F(s) daripada dengan meng-
hitung integral tersebut secara langsung. Suatu metoda yang mudah untuk
mendapatkan transformasi .Laplace balik adalah dengan menggunakan tabel
transformasi Laplace. Dalam hal ini, transformasi Laplace harus dalam bentuk yang
segera dapat dikenal dengan tabel semacam itu. Seringkali fungsi yang ditanyakan
tidak ada pada tabel transformasi Laplace yang tersedia pada seorang insinyur.
Apabila suatu transformasi Laplace F(s) tidak ditemukan dalam label, maka kita
dapat menguraikannya menjadi suatu pecahan parsial dan menuliskan F(s) dalam
bentuk fungsi s yang sederhana sehingga secara cepat transformasi Laplace balik
dari F(s) segera diperoleh.
Perhatikan bahwa metoda yang lebih sederhana untuk mencari transformasi
Laplace balik ini adalah didasarkan pada kenyataan bahwa berlaku hubungan yang
unik antara fungsi waktu dan transformasi Laplace balik, untuk setiap fungsi waktu
yang kontinyu.




Bab-2 Transformasi Laplace
20
Tabel transformasi Laplace

f(t)
F(s)
1
Impulsa satuan
)
(t
δ

1
2
tangga satuan 1(t)
s
1

3
t
2
1
s

4
at
e−

a
s +
1

5
at
te −

2
)
(
1
a
s +

6
tω
sin

2
2 ω
ω
+
s

7
tω
cos

2
2 ω
+
s
s

8
tn (n=1, 2, 3, ….)
1
!
+
n
s
n

9
at
n
e
t
−
(n=1, 2, 3, ….)
1
)
(
!
+
+
n
a
s
n

10
)
(
1
bt
at
e
e
a
b
−
− −
−

)
)(
(
1
b
s
a
s
+
+

11
)
(
1
at
bt
ae
be
a
b
−
− −
−

)
)(
(
b
s
a
s
s
+
+

12






−
−
+
−
)
(
1
1
1
bt
at
ae
be
b
a
ab

)
)(
(
1
b
s
a
s
s
+
+

13
t
e
at ω
sin
−

2
2
)
(
ω
ω
+
+ a
s

14
t
si
e
at ω
−

2
2
)
(
ω
+
+
+
a
s
a
s

15
)
1
(
1
2
at
e
at
a
+
−

)
(
1
2
a
s
s
+


Farida Asriani
21
16
t
e
n
t
n
n
2
2
1
sin
1
ζ
ω
ζ
ω
ζω
−
−
−

2
2
2
2
n
n
n
s
s
ω
ζω
ω
+
+

17
ζ
ζ
θ
θ
ζ
ω
ζ
ζω
2
1
2
2
1
tan
)
1
sin(
1
1
−
=
−
−
−
−
−
t
e
n
t
n

2
2
2
n
ns
s
s
ω
ζω +
+

18
ζ
ζ
θ
θ
ζ
ω
ζ
ζω
2
1
2
2
1
tan
)
1
sin(
1
1
1
−
=
+
−
−
−
−
−
t
e
n
t
n

)
2
(
2
2
2
n
n
n
s
s
s
ω
ζω
ω
+
+