Elettromagnetismo
Elettricità. Corrente. Magnetismo
Maurizio Zani
Maurizio Zani
Sommario
Elettromagnetismo
Elettrostatica
Materiali conduttori
Condensatori
Materiali dielettrici
Corrente elettrica
Resistori
Circuiti elettrici continui
Magnetostatica
Induzione elettromagnetica
Induttori
Materiali magnetici
Circuiti elettrici variabili
Elettromagnetismo
http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1128
Maurizio Zani
Elettrostatica
Elettromagnetismo
Elettrostatica
Materiali conduttori
Condensatori
Materiali dielettrici
Corrente elettrica
Resistori
Circuiti elettrici continui
Magnetostatica
Induzione elettromagnetica
Induttori
Materiali magnetici
Circuiti elettrici variabili
Elettromagnetismo
Elettrizzazione
Forza elettrica
Campo elettrico
Teorema di Gauss
Campo conservativo
Dipolo elettrico
Formulazione differenziale
Maurizio Zani
Elettrizzazione: strofinio
il materiale si elettrizza?
•
no: materiale conduttore
•
sì: materiale isolante
 come la plastica (-): elettrizzazione resinosa
 come il vetro (+): elettrizzazione vetrosa
tipo diverso: attrazione
stesso tipo: repulsione
carica
Maurizio Zani
Elettrizzazione: strofinio
elettronegatività
plastica (-)
vetro (+)
Si
C
1.90
2.20
H
2.55
Maurizio Zani
Elettrizzazione: contatto
+
+
+
+
+
materiali conduttori/isolanti
attrazione
repulsione
contatto
l'interazione
cambia segno
Maurizio Zani
Elettrizzazione: induzione elettrostatica
+
-
-
+
+
+
-
elettrizzazione
localizzata e temporanea
materiali conduttori
prossimità e taglio
prossimità (senza contatto)
elettrizzazione
opposta e permanente
-
-
+
+
+
-
+
Maurizio Zani
Elettrizzazione: polarizzazione
materiali isolanti
+
elettrizzazione
localizzata e temporanea
prossimità e taglio
prossimità (senza contatto)
nessuna
elettrizzazione
-
-
+
+
+
-
+
Maurizio Zani
Forza elettrica: carica elettrica
 [ ]
[ ][ ] As C
q = I t =
=
protone
• mp = 1.672622ꞏ10-27 kg; qp = 1.602176ꞏ10-19 C
elettrone
• me = 9.109382ꞏ10-31 kg; qe = -1.602176ꞏ10-19 C
neutrone
• mn = 1.674927ꞏ10-27 kg; qn = 0 C
carica elettrica
q
coulomb
Maurizio Zani
Forza elettrica: struttura della materia
Modello di Thomson (1902)
•
atomo come sfera carica positivamente (e senza massa)
•
elettroni cariche negative al suo interno (con massa)
Modello di Lorentz (1905)
•
nucleo carico positivamente
•
elettroni come sfera carica negativamente
Modello di Rutherford (1911)
•
nucleo carico positivamente
•
elettroni cariche negative che orbitano
Modello di Bohr (1913)
•
nucleo carico positivamente
•
elettroni cariche negative su orbite stazionarie
Maurizio Zani
Forza elettrica: struttura della materia
Atomo
•
atomo: r = 10-10 m
• nucleo: r = 10-15 m
• elettrone: r = 10-18 m
• atomo => 107 m (pianeta Terra)
•
nucleo => 102 m (campo da calcio)
•
elettrone => 10-1 m (pallone da calcio)
17
10
⋅
l'atomo è vuoto!
Maurizio Zani
Forza elettrica: forza di Coulomb
bilancia di torsione
F
F
θ
q
-q
q
2
1 2
e
e
r
q q
F = k
u
r


forza elettrica (di Coulomb)
forza fondamentale
9
2
2
1 = 8.9874 10 Nm / C
4π
e
0
k =
ε
⋅
-12
2
2
8.85418781762 10
C / Nm
0
ε =
⋅
costante elettrica
permittività elettrica
t
t
e
e
M = k θ
M = F b
ìïïíïïî
t
e
k θ
F =
b
Maurizio Zani
Forza elettrica: forza di Coulomb
F12
q1
q2
F21
F12
q1
q2
F13
q3
F1
12
21
F
= F


azione e reazione
sovrapposizione degli effetti
1
12
13
F = F + F



Maurizio Zani
Forza elettrica: forza di Coulomb
1 2
e
e
r
2
q q
F = k
u
r


forza elettrica (di Coulomb)
interazione tra due cariche
q = 1 C; r = 1 m
9
9 10 N
e
F = ⋅
450 Shuttle!
2
p e
g
r
m m
F = -γ
u
r


confronto con la
forza gravitazionale
39
10
p e
e
e
g
p e
q q
F
k
=
F
γ m m
»
•
età dell'universo
 13 M anni = 4*1017 s
•
dimensione dell'universo
 92 M anni luce = 8.7*1026 m
Maurizio Zani
Campo elettrico
1
4π
1 2
e
r
2
0
q q
F =
u
ε
r


2
1
1
4π
4π
1 2
2
e
r
1
r
1 2
2
0
0
q q
q
F =
u = q
u
= q E
ε
ε
r
r
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø




2
1
4π
r
0
q
E =
u
ε r


campo elettrico
1
i
1 i
1
i
1
F =
F =
q E = q
E = q E
å å
å





effetto
causa
oggetto
[
]
[
]
[ ]
N
C
F
E =
=
q
vale la sovrapposizione degli effetti
i
E =
Eå


d
E =
E
ò


Maurizio Zani
Campo elettrico
x
θ
dE
dy
x
r
y
y
θ
( )
( )
2
1 d
d
d cos
cos
4π
x
0
q
E = E
θ =
θ =
ε r
( )
2
d
d
d
cos
x
q = λ y = λ
θ
θ
( )
tan
y = x
θ
( )
2
d
d
cos
x
y =
θ
θ
( )
cos
x
r =
θ
( )
1
cos
d
4π 0
λ
=
θ θ
ε x
( )
( )
+π /2
+π /2
-π /2
-π /2
1
1
1
d
cos
d
sin
4π
4π
2π
x
0
0
0
λ
λ
λ
E =
E =
θ θ =
θ
=
ε x
ε x
ε x
é
ù
ê
ú
ë
û
ò
ò
filo rettilineo infinito unif. carico
Maurizio Zani
Campo elettrico
anello unif. carico
x
R
θ
dE
ds
x
θ
r
( )
( )
2
2
2
2
2
2
1
d
d
d cos
cos
4π
1
d
4π
x
0
0
q
E = E
θ =
θ =
ε x + R
q
x
=
ε x + R
x + R
(
)3/2
2
2
1
d
4π
x
0
x q
E =
E =
ε
x + R
ò
x
E
R / √2
Maurizio Zani
Campo elettrico
disco unif. carico
x
dE
x
R
r
2
π
disco
q
= σ r
d
2π d
q = σ
r r
(
)
(
)
3/2
3/2
2
2
2
2
1
d
1
d
d
4π
2
0
0
x q
xσr
E =
=
r
ε
ε
x + r
x + r
(
)3/2
2
2
0
2
2
d
d
2
1
2
R
x
0
0
xσ
r
E =
E =
r =
ε
x + r
σ
x
=
-
ε
x + R
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø
ó
ô
õ
ò
2
π
disco
q
σ =

R
:
2 0
σ
x
R E
ε
»

2
1
:
4π 0
q
x
R E
ε x
»

Maurizio Zani
-q
Campo elettrico: linee di flusso
2
1
4π
r
0
q
E =
u
ε r


d
E =
E
ò


+q
Linee di flusso
•
linee orientate, tangenti (direzione) e concordi (verso) al campo
•
si addensano dove il campo è più intenso
•
non si incrociano mai
•
partono (sorgente) e terminano (pozzo) sulle cariche o all’infinito
Maurizio Zani
+q
+q
Campo elettrico: linee di flusso
2
1
4π
r
0
q
E =
u
ε r


d
E =
E
ò


Maurizio Zani
Teorema di Gauss: flusso
S
θ
E
( )
Φ E = E S
⋅



flusso
campo omogeneo:
( )
[
][
]
2
N
Φ
m
C
E = E S =
é
ù
ê
ú
ë
û

( )
( )
Φ
dΦ
d
E =
E =
E S
⋅
ò
ò




campo/superficie variabile:
dS
E
E
E
•
flusso additivo
tra campi
( )
(
)
( )
( )
Φ
d
d
d
Φ
Φ
1
2
1
2
1
2
E =
E + E
S =
E
S +
E
S =
E +
E
⋅
⋅
⋅
ò
ò
ò










•
flusso additivo
in superfici
( )
( )
( )
Φ
d
d
d
Φ
Φ
3
1
2
1
2
S
S
S
E =
E S =
E S +
E S =
E +
E
⋅
⋅
⋅
ò
ò
ò









Maurizio Zani
Teorema di Gauss: superficie sferica
q
E
R
2
1
4π
r
0
q
E =
u
ε r


( )
Φ
d
d
d
E =
E S =
E S = E
S = E S
⋅
ò
ò
ò






2
4π
S = R
( )
Φ
d
0
q
E =
E S =
ε
⋅
ò




teorema di Gauss
( )
Φ
d
4π e
E =
E S =
k q
⋅
⋅
ò




( )
Φ
d
4π
G = G S = -
γ m
⋅
⋅
ò




Maurizio Zani
Teorema di Gauss: superficie generica
θ E
dΩ
dS
q
r
dΩ
E2
q
E1
( )
( )
Φ
d
d cos
E =
E S =
E S
θ
⋅
ò
ò





( )
2
d cos
d
d
S
θ = S' = Ω r
2
1
4π
r
0
q
E =
u
ε r


( )
Φ
dΦ
d
4π 0
q
E =
=
Ω
ε
ò
ò



carica interna
d
4π
Ω =
ò
carica esterna
dΦ
0
=
ò
d
d
1
2
Ω = Ω
dΦ
dΦ
1
2
= -
Maurizio Zani
Teorema di Gauss
Teorema di Gauss
"Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa
dipende unicamente dalla carica netta contenuta nella superficie,
e ne risulta proporzionale secondo un fattore 1/ε0"
( )
Φ
d
int
0
q
E =
E S =
ε
⋅
ò




sempre valido, non sempre utile
Maurizio Zani
Teorema di Gauss
filo rettilineo infinito unif. carico
h
r
( )
lato
basi
Φ
d
d
d
E =
E S =
E S +
E S =
⋅
⋅
⋅
ò
ò
ò








( )
Φ
d
int
0
q
E =
E S =
ε
⋅
ò




Gauss
flusso
per simmetria, il campo elettrico è
•
radiale rispetto al filo
•
invariante per traslazione lungo il filo
•
invariante per rotazione attorno al filo
simmetrica cilindrica
lato
lato
d
d
2π
=
E S = E
S = E
r h =
ò
ò
1
2π 0
λ
E =
ε r
int
0
0
q
λh
=
=
ε
ε
Maurizio Zani
R
h
r
Teorema di Gauss
cilindro rettilineo infinito unif. carico
per simmetria, il campo elettrico è
•
radiale rispetto al filo
•
invariante per traslazione lungo il filo
•
invariante per rotazione attorno al filo
simmetrica cilindrica
( )
Φ
d
2π
int
0
q
E =
E S = E
r h =
ε
⋅
ò




2
2
1
π
2
int
0
ρR
r > R: q
= ρV = ρ R h E =
ε
r
2
π
2
int
0
ρ
r < R: q
= ρV = ρ r h E =
r
ε
E
iperbole
retta
R
r
Maurizio Zani
Teorema di Gauss
sfera unif. carica
per simmetria, il campo elettrico è
•
radiale rispetto al centro
•
invariante per rotazione della sfera
simmetrica sferica
( )
2
Φ
d
4π
int
0
q
E =
E S = E
r =
ε
⋅
ò




2
1
4π
int
0
q
r > R: q
= q E =
ε r
3
3
3
3
3
1
4 π
3
4
4π
π
3
int
0
q
q
q
r < R: q
= ρV =
r =
r E =
r
ε
R
R
R
E
r
retta
1/r 2
R
r
R
q
Maurizio Zani
Campo conservativo: energia potenziale
2
1
4π
1 2
e
r
0
q q
F =
u
ε
r


d
d
d
r
θ
r = r u + r θ u



(
)
B
B
2
2
A
A
1
1
d
d
d
d
4π
4π
B
A
r
1 2
1 2
e
r
r
θ
0
0
r
q q
q q
W =
F
r =
u
r u + r θ u
=
r
ε
ε
r
r
⋅
⋅
ó
õ
ò
ò





1
4π
1 2
e
0
q q
U =
ε
r
B
B
2
A
A
1
1
d
d
d
4π
4π
B
A
r
1 2
1 2
e
e
0
0
r
q q
q q
W =
r = -
= -
U = - U
ε
ε
r
r

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
ó
õ
ò
ò
energia potenziale
della forza elettrica
forza elettrica
Maurizio Zani
Campo conservativo: energia potenziale
( )
d
0
r
0
r
U r = U -
F
r
⋅
ò





?
F =

đ
d
d
d
d
d
x
y
z
W = F
r = F x + F y + F z = - U
⋅


d
d
d
d
U
U
U
U =
x +
y +
z
x
y
z
¶
¶
¶
¶
¶
¶
x
U
F = -
x
¶
¶
y
U
F = -
y
¶
¶
z
U
F = -
z
¶
¶
( )
grad
F = -
U

gradiente
U
x
x0
F
F
Maurizio Zani
Campo conservativo: energia potenziale
(1)
(2)
A
B
y
x
B
B
A
A
(1)
(2)
d
d
W =
F
r =
F
r
⋅
⋅
ò
ò




B
A
B
B
A
B
A
A
(1)
(2)
(1)
(2)
d
d
d
d
d
0
W =
F
r =
F
r +
F
r =
F
r -
F
r =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
ò
ò
ò
ò
ò











( )
Λ
d
d
0
F =
F
r = q
E r =
⋅
⋅
ò
ò







circuitazione
F = qE


Maurizio Zani
Campo conservativo
III legge di Maxwell
"La circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa
è nulla"
( )
Λ
d
0
E =
E
r =
⋅
ò




Maurizio Zani
Campo conservativo: potenziale elettrico
1
4π
1 2
e
0
q q
U =
ε
r
1
1
4π
4π
1 2
2
e
1
1 2
0
0
q q
q
U =
= q
= q V
ε
r
ε
r
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
1
4π 0
q
V =
ε r
potenziale elettrico
1
i
1 i
1
i
1
U =
U =
q V = q
V = q V
å å
å
effetto
causa
oggetto
[
]
[
]
[ ]
J
V
C
U
V =
=
=
q
vale la sovrapposizione degli effetti
volt
i
V =
Vå
d
V =
V
ò
Maurizio Zani
Campo conservativo: potenziale elettrico
( )
grad
F = -
U

( )
grad
E = -
V

x
U
F = -
x
¶
¶
y
U
F = -
y
¶
¶
z
U
F = -
z
¶
¶
x
V
E = -
x
¶
¶
y
V
E = -
y
¶
¶
z
V
E = -
z
¶
¶
F = qE


[
]
[
]
[ ]
N
V
C
m
F
E =
=
=
q
U = qV
Maurizio Zani
( )
1
d
4π
r
0
r
q
r > R: V r = V
-
E r =
ε r
¥
¥ ò
Campo conservativo: potenziale elettrico
sfera unif. carica
2
1
4π 0
q
r > R: E =
ε r
R
q
r
V
E = -
r
¶
¶
( )
2
2
1
d
3
8π
r
R
0
R
q
r
r < R: V r = V -
E r =
-
ε R
R
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
ò
V
r
R
parabola
iperbole
3
1
r
4π 0
q
r < R: E =
ε R
Maurizio Zani
Campo conservativo: energia elettrica
B
A
d
int
W
=
F
r = - U

⋅
ò


B
B
A
A
d
d
Δ
ext
ext
int
f
i
W
=
F
r =
-F
r = -W
= U = U - U
⋅
⋅
ò
ò




ir = ¥

0
i
U =
ext
f
W
= U
1
4π
1 2
e
0
q q
U =
ε
r
Maurizio Zani
Campo conservativo: energia elettrica
q3
r23
r13
0
1
W =
1
Δ
Δ
4π
1
2
2
2
2 1
2
0 12
q
W = U = q V = q V = q
ε r
(
)
1
Δ
Δ
4π
1
2
3
3
3
3
1
2
3
0
13
23
q
q
W = U = q V = q V + V
= q
+
ε
r
r
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
1
4π
1 3
2 3
1 2
e
1
2
3
0
12
13
23
q q
q q
q q
E = W = W + W + W =
+
+
ε
r
r
r
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
1
2
n
e
ij
i
j
E =
U
¹
å
1
1
2
n
e
i i
i=
E =
q V
å
1
d
2
e
E =
V q
ò
energia elettrica
q2
r12
q1
1
4π
1 2
e
0
q q
U =
ε
r
Maurizio Zani
Campo conservativo: energia elettrica
sfera unif. carica
1
4π 0
q
r > R: V =
ε r
2
2
1
3
8π 0
q
r
r < R: V =
-
ε R
R
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
R
q
2
2
2
2
0
1
1
1
3
d
3
4π d
2
2
8π
20π
R
e
0
0
q
r
q
E =
V q =
-
ρ
r
r =
ε R
ε R
R
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
ó
ôõ
ò
2
d
d
4π d
q = ρ V = ρ
r
r
r
dr
3
4 π
3
q
ρ =
R
1
2
e
E = Vq =
e se tutta la carica
andasse sulla superficie?
2
1
2 4π
8π
0
0
q
q
=
q =
ε R
ε R
Maurizio Zani
θ
r
Dipolo elettrico: interazioni create
q
-q
d
y
x
r+
r-
P
1
4π
+
0 +
q
V =
ε r
1
4π
-
0
-
-q
V =
ε r
1
1
4π
4π
-
+
+
-
0 +
-
0
- +
r - r
q
-
q
V = V + V =
+
=
ε
r
r
ε
r r
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
approssimazione di dipolo
r
d

( )
2
cos
-
+
- +
r - r
d
θ
r r
r
ìï
»
ï
íï
»
ïïî
( )
( )
2
2
cos
cos
1
1
4π
4π
4π
-
+
0
- +
0
0
qd
θ
p
θ
r - r
q
V =
=
ε
r r
ε
ε
r
r
»
p = qd


momento di dipolo elettrico
[
]
[ ][
] Cm
p = q d =
Maurizio Zani
θ
r
Dipolo elettrico: interazioni create
q
-q
d
y
x
r+
r-
P
( )
2
cos
1
4π 0
p
θ
V =
ε
r
( )
grad
E = -
V

y
θ
x
Er
r
Eθ
E
p
( )
( )
3
3
2 cos
d
1
d
4π
sin
1 d
1
d
4π
r
0
θ
0
p
θ
V
E = -
=
r
ε
r
p
θ
V
E = -
=
r θ
ε
r
ìïïïïïïíïïïïïïî
3
1 2
0:
0
4π
θ
r
0
p
θ =
E = E =
ε r
3
π
1
:
0
2
4π
θ
r
0
p
θ =
E =
E =
ε r
Maurizio Zani
Dipolo elettrico: interazioni subite
M = d F = d qE = qd E = p E
´
´
´
´









(
)
(
)
Δ
+
-
+
-
U = qV - qV = q V - V = q -E x =
( )
(
)
grad
grad
F = -
U =
p E
⋅



q
-q
p
F
F
E
θ
( )
(
)
( )
cos
cos
= q -E d
θ
= -pE
θ = -p E
⋅


Maurizio Zani
Dipolo elettrico: sviluppo in multipoli
qi
y
θi
x
di
r
P
ri
1
4π
i
i
0
i
q
V =
ε
r
( )
( )
2
2
2
2
cos
1
2
cos
i
i
i
i
i
i
i
i
r = r - d = r + d
- rd
θ
=
d
d
= r
+
-
θ
r
r
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø


( )
( )
( )
(
)
2
2
2
2
3
1
4π
1
2
cos
1
1
1
1
1
cos
3cos
1
4π
2
4π
i
i
0
i
i
i
i
i
i
i2
i3
i
i
i
0
0
q
V =
ε
d
d
r
+
-
θ
r
r
q
d
d
k
k
+
θ
+
θ
-
+ ... =
q
+
+
+ ...
ε
r
r
r
ε
r
r
r
»
æ ö÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
ê
ú
÷
÷
ç
ç
ê
ú
»
÷
÷
ç
ç
ê
ú
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ê
ú
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
ë
û
2
1
1
3
:
1
2
8
1
i
r
d

-
x +
x - ...
+ x
»

x
Maurizio Zani
Dipolo elettrico: sviluppo in multipoli
qi
y
θi
x
di
r
P
ri
2
3
2
3
2
3
1
1
4π
1
1
1
1
4π
1
4π
i2
i3
i
i
0
i
i
i
i i2
i i3
0
i
i
i
3
1
2
0
k
k
V =
V =
q
+
+
+ ... =
ε
r
r
r
=
q +
q k +
q k + ... =
ε
r
r
r
k
k
k
=
+
+
+ ...
ε
r
r
r
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
é
ù
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ë
û
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
å
å
å
å
å
2
3
1
4π
1
1
4π
i
i
0
i
i2
i3
i
0
q
V =
=
ε
r
k
k
=
q
+
+
+ ...
ε
r
r
r
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
1
k
2
k
3
k
termine di...
...monopolo
...dipolo
...quadrupolo
Maurizio Zani
Formulazione differenziale: condizioni al contorno
2
1
dS
( )
dΦ
d
d
2
2
2
n2
E = E
S = E
S
⋅



( )
dΦ
d
d
d
1
1
1
1
2
n1
E = E
S = -E
S = -E
S
⋅
⋅





( )
dΦ
0
lat E
»

( )
( )
( )
( )
(
)
dΦ
dΦ
dΦ
dΦ
d
Δ d
1
2
lat
n2
n1
n
E =
E +
E +
E = E
- E
S = E S




( )
d
d
dΦ
0
0
q
σ S
E =
=
ε
ε

Δ n
0
σ
E =
ε
Maurizio Zani
2
1
dr
Formulazione differenziale: condizioni al contorno
( )
dΛ
d
d
2
2
2
t2
E = E
r = E
r
⋅



( )
dΛ
d
d
d
1
1
1
1
2
t1
E = E
r = -E
r = -E
r
⋅
⋅





( )
( )
( )
( )
(
)
dΛ
dΛ
dΛ
dΛ
d
Δ d
1
2
n
t2
t1
t
E =
E +
E +
E = E - E
r = E r




( )
dΛ
0
E =

Δ
0
t
E =
( )
dΛ
0
n E
»

Maurizio Zani
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
dΦ
d
d
d d
'
'
'
x
'
x
'
'
''
x
= E
S = E S = E y z
E
⋅



( )
d
d
d
d
d
Φ
'
'
'
x
'
x
x
= E
S = -E S = -E y
E
z
⋅



( )
( )
( )
dΦ
dΦ
dΦ
d d
d d
d d d
d d d
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''
'
''
'
x
x
x
x
x
x
x
x
E
E
E =
E +
E = E y z - E y z = E y z =
x y z =
V
x
x
æ
ö
¶
¶
÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø
¶
¶



dx
y
z
x
dy
dx
dz
dz
dy
( )
dΦ
d
y
y
E
E =
V
y
¶
¶

( )
dΦ
d
z
z
E
E =
V
z
¶
¶

Maurizio Zani
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
dx
y
z
x
dy
dx
dz
dz
dy
( )
( )
( )
( )
( )
dΦ
dΦ
dΦ
dΦ
+
+
d
div
d
y
x
z
x
y
z
E
E
E
E =
E +
E +
E =
V =
E V
x
y
z
æ
ö
¶
¶
¶
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
ç ¶
¶
¶
è
ø





( )
d
d
dΦ
0
0
q
ρ V
E =
=
ε
ε

( )
div
0
ρ
E =
ε

( )
( )
( )
Φ
dΦ
d
div
d
E =
E =
E S =
E V
⋅
ò
ò
ò






teorema della divergenza
Maurizio Zani
dx
y
x
dy
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
dΛ
d
d
'
'
x
'
x
= E
r = E x
E
⋅



( )
d
dΛ
d
''
'
''
x
'
x
= E
r = -E x
E
⋅



( )
( )
( )
dΛ
dΛ
dΛ
d
d
d d
d d
'
''
'
''
x
x
x
x
x
x
x
E
E =
E +
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y
x
y
æ
ö
¶
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç ¶
è
ø



( )
dΛ
d d
d d
y
y
y
E
E = E y =
x y
x
¶
¶

( )
( )
( )
dΛ
dΛ
dΛ
d d
y
x
y
x
E
E
E =
E +
E =
-
x y
x
y
æ
ö
¶
¶
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
ç ¶
¶
è
ø



Maurizio Zani
dx
y
x
dy
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
dΛ
d d
d
y
y
x
x
z
E
E
E
E
E =
-
x y =
-
S
x
y
x
y
æ
ö
æ
ö
¶
¶
¶
¶
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
¶
¶
¶
¶
è
ø
è
ø

piano xy:
( )
dΛ
d d
d
y
y
z
z
x
E
E
E
E
E =
-
y z =
-
S
y
z
y
z
æ
ö
æ
ö
¶
¶
¶
¶
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
¶
¶
¶
¶
è
ø
è
ø

piano yz:
( )
dΛ
d d
d
x
x
z
z
y
E
E
E
E
E =
-
z x =
-
S
z
x
z
x
æ
ö
æ
ö
¶
¶
¶
¶
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø
¶
¶
¶
¶

piano zx:
Maurizio Zani
dx
y
x
dy
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
( )
dΛ
d
d
d
rot
d
y
y
x
x
z
z
x
y
z
E
E
E
E
E
E
E =
-
S +
-
S +
-
S =
E
S
y
z
z
x
x
y
æ
ö
æ
ö
¶
¶
æ
ö
¶
¶
¶
¶
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
⋅
÷
ç
÷
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
è
ø
¶
¶
¶
¶
¶
¶
è
ø
è
ø



( )
dΛ
0
E =

( )
rot
0
E =

( )
( )
( )
Λ
dΛ
d
rot
d
E =
E =
E
r =
E
S
⋅
⋅
ò
ò
ò







teorema del rotore
Maurizio Zani
x
y
z
=
u +
u +
u
x
y
z
¶
¶
¶

¶
¶
¶




( )
div
y
x
z
E
E
E
E =
+
+
x
y
z
¶
¶
¶
¶
¶
¶

Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
rot
x
y
z
x
y
z
u
u
u
E =
x
y
z
E
E
E
¶
¶
¶
¶
¶
¶




nabla
( )
rot E =
E
´



( )
div E =
E
⋅



( )
grad
x
y
z
V
V
V
V =
u +
u +
u
x
y
z
¶
¶
¶
¶
¶
¶



( )
grad V = V

Maurizio Zani
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
Teorema di Gauss
Campo conservativo
relazioni integrali
condizioni al contorno
relazioni infinitesime
( )
Φ
d
int
0
q
E =
E S =
ε
⋅
ò




Δ n
0
σ
E =
ε
Δ
0
t
E =
( )
d
0
E =
E
r =

⋅
ò




( )
div
0
ρ
E =
ε

( )
rot
0
E =

Maurizio Zani
( )
div
0
ρ
E =
ε

Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
rot
0
E =

( )
(
)
rot grad
0
f

º
( )
grad
E = -
V

1
d
1
d
4π
4π
0
0
q
ρ
V =
=
V
ε
r
ε
r
ò
ò
vale la sovrapposizione degli effetti
V = ?
Maurizio Zani
Formulazione differenziale: leggi di Maxwell
( )
(
)
rot grad
0
f

º
( )
grad
E = -
V

0
V = V + k
( )
(
)
(
)
( )
(
)
grad
grad
grad
grad
grad
0
0
0
V =
V + k =
=
V
+
k =
V
( )
( )
(
)
( )
2
div
div grad
0
ρ
-
E = -
-
V
=
V = -
ε


2
2
2
2
2
2
2
=
=
+
+
x
y
z
¶
¶
¶
 ⋅
¶
¶
¶
 
laplaciano
equazione di Poisson
( )
div
0
ρ
E =
ε

( )
rot
0
E =

arbitraria
Maurizio Zani
( )
div
y
x
z
E
E
E
E =
+
+
x
y
z
¶
¶
¶
¶
¶
¶

Formulazione differenziale: identità vettoriali
( )
rot
x
y
z
x
y
z
u
u
u
E =
x
y
z
E
E
E
¶
¶
¶
¶
¶
¶




(
)
( )
( )
div
rot
rot
A B

A B - A
B
´ º
⋅
⋅






( )
(
)
div rot
0
A
º

( )
grad
x
y
z
V
V
V
V =
u +
u +
u
x
y
z
¶
¶
¶
¶
¶
¶



( )
(
)
rot grad
0
f

º
( )
( )
(
)
( )
(
)
2
grad div
rot rot
A

A -
A

º



derivate prime
derivate seconde
teorema di Schwar(t)z
2
2
f
f
=
x y
y x
¶
¶
¶ ¶
¶ ¶