Onde
Acustica. Onde elettromagnetiche. Ottica
Maurizio Zani
Maurizio Zani
Sommario
Onde
Onde
Onde meccaniche
Onde elettromagnetiche
Emissione e interazione elettromagnetica
Ottica geometrica
Ottica ondulatoria
Ottica quantistica
http://www.mauriziozani.it/wp/?p=2916
Maurizio Zani
Onde
Onde
Onde
Onde meccaniche
Onde elettromagnetiche
Emissione e interazione elettromagnetica
Ottica geometrica
Ottica ondulatoria
Ottica quantistica
Equazione delle onde
Onde piane
Onde piane armoniche
Onde sferiche
Onde stazionarie
Maurizio Zani
Equazione delle onde
h
x
t = 0
(
)
h x - vt
funzione d’onda
h
t
x = 0
profilo spaziale
profilo temporale
Maurizio Zani
Equazione delle onde
h
x
vt1
t = 0
t = t1
x0
x1
(
)
h x - vt
h
t
x1/v
x = 0
x = x1
t0
t1
profilo spaziale
profilo temporale
0
1
t=
t=t
x - vt
= x - vt
0
1
1
x = x - vt
1
0
1
x = x + vt
0
1
x=
x=x
x - vt
= x - vt
0
1
1
-vt = x - vt
1
1
0
x
t = t +
v
Maurizio Zani
Equazione delle onde
2
2
2
2
2
1
0
h
h
-
=
x
v
t
¶
¶
¶
¶
equazione di d’Alembert
(
)
h x - vt
w = x - vt
h
h w
h
=
=
x
w x
w
¶
¶ ¶
¶
¶
¶ ¶
¶
2
2
2
2
h
h
h
h
w
h
=
=
=
=
x x
x
w
w w
x
x
w
æ
ö
æ
ö
¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶ ¶
¶
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶
¶
¶
h
h w
h
=
= -v
t
w
t
w
¶
¶ ¶
¶
¶
¶ ¶
¶
2
2
2
2
2
h
h
h
h
w
h
=
=
-v
=
-v
= v
t
t
t
w
w
w
t
t
w
æ
ö
æ
ö
¶
¶ ¶
¶
¶
¶
¶ ¶
¶
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø
¶ ¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
1
-v
1
-v
Maurizio Zani
(
)
( )
(
)
cos
v
h r u - vt = h r
θ - vt
⋅
 
Onde piane
y
x
uv
r
θ
(
)
h x - vt
2
2
2
2
2
1
0
h
h
-
=
x
v
t
¶
¶
¶
¶
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
h
h
h
h
+
+
-
=
x
y
z
v
t
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
fronte d’onda
versore di propagazione dell’onda
1D:
3D:
Maurizio Zani
Onde piane armoniche: monodimensionali
ampiezza dell’onda
(
)
(
)
(
)
sin
sin
0
0
h x - vt = h
k x - vt + φ = h
kx - ωt + φ
é
ù
ê
ú
ë
û
numero d’onda
pulsazione
fase iniziale
h
x
λ
2π
2π
ω =
=
f
T
2π
k =
λ
lunghezza d’onda
frequenza
periodo
ω
λ
v =
=
= fλ
k
T
velocità dell’onda
h
t
T
h0
Maurizio Zani
Onde piane armoniche: vettori rotanti
formula di Eulero
(
)
(
)
cos
0
h x - vt = h
kx - ωt + φ
( )
( )
i
e
cos
i sin
z =
z +

z
(
)
(
)
i
i
i
i
e
e
e
e
kx - ωt + φ
kx + φ
- ωt
- ωt
0
0
0
h = h
= h
= h


(
)
i kx + φ
0
0
h = h e

( )
(
)
(
)
(
)
i
Re
Re
e
cos
kx - ωt + φ
0
0
h =
h =
h
= h
kx - ωt + φ

Im
Re
ω
h
θ
h0
h
notazione
reale
notazione
complessa


θ
Maurizio Zani
Onde piane armoniche: serie di Fourier
( )
(
)
(
)
(
)
1
cos
sin
0
n
0
n
0
n
f t = a +
a
nω t + b
nω t
¥
=
å
( )
0
1
d
T
0
a =
f t
t
T ò
( )
(
)
0
2
cos
d
T
n
0
a =
f t
nω t
t
T ò
( )
(
)
0
2
sin
d
T
n
0
b =
f t
nω t
t
T ò
( )
(
)
1
cos
0
n
0
n
n
f t = a +
c
nω t + φ
¥
=
å
2
2
2
n
n
n
c
= a
+ b
(
)
tan
n
n
n
b
φ
= -
a
( )
i
e
0
nω t
n
n -
f
t =
d
¥
= ¥
å 
0
0
d = a

( )
2
i
2
e
d
0
T/
- nω t
n
-T/
d =
f t
t
ò

funzione periodica
Maurizio Zani
Onde piane armoniche: trasformata di Fourier
( )
( )
2
i
i
i
2
1
2π
e
e
d e
2π
0
0
0
T/
nω t
- nω t
nω t
n
n -
n -
-T/
f
t =
d
=
f
t
t
T
¥
¥
= ¥
= ¥
é
ù
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ë
û
å
å
ò

( )
i
e
0
nω t
n
n -
f
t =
d
¥
= ¥
å 
0
0
d = a

( )
2
i
2
e
d
0
T/
- nω t
n
-T/
d =
f t
t
ò

funzione non periodica
2π = ω
T

( )
( )
i
i
1
e
d e
d
2π
- ωt
ωt
-
-
f
t =
f t
t
ω
¥
¥
¥
¥
é
ù
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ë
û
ó
ô
ôõ
ò
( )
( ) i
1
e
d
2π
ωt
-
f
t =
f ω
ω
¥
¥
ò 
dω
( )
( )
i
e
d
- ωt
-
f ω =
f t
t
¥
¥
ò

Maurizio Zani
Onde piane armoniche: battimenti
(
)
(
)
(
)
sin
sin
0
1
1
0
2
2
h x - vt = h
k x - ω t + h
k x - ω t
1
2
k = k
k = k + k

ìïïíïïî
1
2
ω = ω
ω = ω + ω

ìïïíïïî
2
1
k = k - k
k


2
1
ω = ω - ω
ω


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
sin
sin
0
h x - vt = h
kx - ωt +
k + k x - ω + ω t
=


é
ù
ê
ú
ë
û
2
2
2
sin
cos
2
2
2
0
k + k
ω + ω
k x - ω t
= h
x -
t




æ
ö
æ
ö
⋅
⋅
÷
÷
ç
ç
»
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø
(
)
2
sin
cos
2
0
k x - ω t
h
kx - ωt


æ
ö
⋅
⋅ ÷
ç
»
÷
ç
÷÷
çè
ø
α
β
2
2
g
ω
ω
v =
=
k
k




velocità di gruppo
Maurizio Zani
Onde piane armoniche: battimenti
(
)
(
)
n
cos
2
2
si
0
h

x - vt
h
ω
kx -
k x
t
t
-
ω


æ
ö
⋅
⋅ ÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
»
2
2
g
ω
ω
v =
=
k
k




velocità di gruppo
battimento
2
1
k = k - k
k


2
1
ω = ω - ω
ω


Maurizio Zani
Onde stazionarie
(
)
(
)
h x; t = h x - vt
2
2
2
2
2
1
0
h
h
-
=
x
v
t
¶
¶
¶
¶
( )
( )
2
2
2
2
2
1
0
f
g
g t
-
f x
=
x
v
t
¶
¶
¶
¶
( )
( )
2
2
2
2
2
2
1
1
1
-
f
g
=
= k
f x
g t
x
v
t
¶
¶
¶
¶
(
)
( ) ( )
h x; t = f x g t
x; t
"
( )
2
2
2
0
f + k f x =
x
¶
¶
( )
2
2
2
0
g + ω g t =
t
¶
¶
ω
v =
k
( )
(
)
sin
0
f x = f
kx + α
( )
(
)
sin
0
g t = g
t + β

(
)
( ) ( )
(
)
(
)
sin
sin
0
h x; t = f x g t = h
kx + α
t + β

0
0 0
h = f g
onda stazionaria
Maurizio Zani
Onde stazionarie
(
)
(
)
(
)
sin
sin
0
h x; t = h
kx + α
t + β

(
)
(
)
(
)
sin
sin
0
0
h x; t = h
kx + ωt + h
kx - ωt =
h
x
V
N
(
)
(
)
sin
sin
0
= h
kx + ωt +
kx - ωt
é
ù
ê
ú
ë
û
(
)
(
)
2
sin
cos
0
= h
kx
ωt
ventri
nodi
π
kx = m ⋅
2
λ
x = m
nodi:
(
) π
2
1
2
kx = m +
⋅
1
2 2
λ
x = m +
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø
ventri: